- •1. Введение
- •2. Некоторые сведения из теории
- •2.1. Оптимальные системы сигналов
- •2.2. Ортогональные двоичные коды
- •2.3. Биортогональные коды
- •2.4. Корреляционные свойства биортогональных кодов
- •3. Описание лабораторной установки
- •3.1. Кодирующее устройство
- •3.2. Двоичный согласованный фильтр
- •3.3. Конструкция лабораторного макета
- •4. Порядок выполнения лабораторной работы
- •5. Контрольные вопросы
1. Введение
Важнейшей характеристикой любой системы передачи информации (СПИ) является помехоустойчивость. Один из наиболее эффективных методов повышения помехоустойчивости – использование корректирующих кодов, позволяющих обнаруживать и исправлять ошибки в кодовых комбинациях.
В лабораторной работе изучаются один из возможных корректирующих кодов (код Рида-Малера), основанный на использовании системы биортогональных сигналов, способы их формирования и корреляционные свойства.
2. Некоторые сведения из теории
2.1. Оптимальные системы сигналов
Структура когерентной цифровой системы передачи информации и её основные характеристики (помехоустойчивость, эффективность, надёжность, сложность и т. п.) зависят от выбора формы сигналов. Основным требованием при выборе оптимальных сигналов может служить критерий минимума вероятности ошибки рош.
В теории потенциальной помехоустойчивости доказывается, что при действии аддитивного белого шума вероятность неправильного опознания сигнала не зависит от тонкой (временной или спектральной) структуры сигналов, а определяется следующими показателями:
1) отношением энергии сигнала к спектральной плотности шума
, |
(5.1) |
где Рс – средняя мощность сигнала на интервале Т,
Т – длительность сигнала,
Nо – спектральная плотность мощности белого шума;
2) значениями всех коэффициентов взаимной корреляции сигналов
|
(5.2) |
где i,j=1, 2,…,M .
Необходимо отыскать алфавит сигналов, наилучший с точки зрения указанных показателей (минимум всех при фиксированном q2).
Наименьшее возможное значение , в этом случае число сигналов M равно двум, и . Это – система с противоположными сигналами (фазовая манипуляция на 180о).
При числе сигналов М>2 невозможно сделать все . В.А. Котельников показал, что оптимальной системой, требующей минимальной средней мощности передатчика, является при М>>1 система равноудаленных друг от друга сигналов, имеющих равные энергии. Для них коэффициент корреляции
. |
(5.3) |
При М>>1 к оптимальным приближаются системы ортогональных сигналов, для которых
|
(5.4) |
где – энергия каждого из сигналов.
2.2. Ортогональные двоичные коды
На практике широкое применение получили ортогональные сигналы, формируемые из двоичных противоположных символов 0 и 1.
Назовем бинарным кодом B(t)={b1, b2,…, bn} последовательность n элементарных прямоугольных импульсов длительностью , где Т – длительность кодовой комбинации. Амплитуды элементарных импульсов b1, b2,…, bn принимают значения только 0 или 1 (или минус 1 и плюс 1).
Кодовые комбинации представляют векторами n-мерного линейного пространства (пространства Хэмминга). Тогда геометрической моделью n-значного кода является n-мерный куб с ребром, равным 1, каждая вершина которого представляет одну из возможных кодовых комбинаций. Число вершин .
Н а рис. 5.1 представлена геометрическая модель трехзначного двоичного кода.
Расстояние между двоичными векторами x и y в n-мерном пространстве Хемминга выражают числом знаков, в которых они отличаются друг от друга
|
(5.5) |
Наименьшее для данного кода значение d называют его кодовым расстоянием . Кодовые комбинации
удовлетворяющие условию
называются ортогональными на интервале (0-Т).
Ортогональные коды представляют собой равноудаленные сигналы с одинаковой энергией. Геометрическим образом такого кода являются, например, точки на координатных осях.
В трехмерном случае (рис. 5.1) комбинациями ортогонального кода являются векторы 100, 010, 001. Здесь число кодовых комбинаций М=n, сигналы обладают равной энергией.
Геометрически это означает, что все точки, соответствующие кодовым комбинациям, находятся от начала координат на одинаковом расстоянии, равном единице.
Нормированная корреляционная функция цифрового сигнала B(t), которому соответствует n-мерный вектор b, определяется следующим выражением
|
(5.6) |
где величина сдвига j – целое число ( ).
Например, если b=(1,-1,-1,1), то
При построении систем связи используются двоичные векторы, символы которых не обязательно равны +1 и –1. В этом случае более общим является определение величины ρ в виде
|
(5.7) |
где nсовп – число поэлементных совпадений;
nнесовп – число поэлементных несовпадений;
n= nсовп+ nнесовп – длина кодовой комбинации.
Так как , то коэффициент корреляции двух кодовых комбинаций в соответствии с (5.7)
|
(5.8) |
представляет собой отношение разности между числом позиций с совпадающими знаками ( ) и числом позиций с отличающимися знаками к общему числу позиций n. Т.к. две ортогональные кодовые комбинации имеют , это значит, что они имеют половину символов одинаковых и половину разных. Этот факт может быть взят за основу при конструировании ортогональных кодов.
Ортогональные коды представляют в виде таблиц или матриц. В двумерном пространстве ортогональные коды есть 00 и 01. Для n=4 кодовая таблица ортогональных кодов получается из исходных сигналов 00 и 01 следующим образом:
сигнал 00 записывается дважды в первый столбец;
сигнал 01 записывается дважды во второй столбец;
сигнал 00 записывается в третий столбец, а под ним – сигнал ему противоположный 11;
сигнал 01 записывается в четвертый столбец, а под ним – противоположный ему сигнал 10. Таблица (матрица Адамара) при этом имеет вид: