- •Тема 1: Случайные события. Классификация событий
- •2. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности события
- •3. Статистическое определение вероятности события и условия его применимости
- •Лекция 2 Тема 2: Основные теоремы
- •1. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей и её следствия
- •2. Зависимые и независимые события. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей
- •3. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Лекция 3 Тема 3: Повторные независимые испытания Тема 4: Дискретные случайные величины
- •1. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли
- •2. Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применимости
- •3. Локальная теорема Муавра-Лапласа и условия ее применимости
- •4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа, её следствия и условия их применимости
- •5. Понятие случайной величины и ее описание. Дискретная случайная величина и ее закон (ряд) распределения.
- •Лекция 4 Тема 4: Дискретные случайные величины
- •1. Математические операции над дискретными случайными величинами
- •2. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, их свойства
- •3. Математическое ожидание и дисперсия числа m и частости m/n наступлений события в п повторных независимых испытаниях
- •4. Биномиальный закон распределения и закон Пуассона
- •Лекция 5 Тема 5: Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения
- •1. Функция распределения случайной величины, ее свойства и график
- •2. Непрерывная случайная величина (нсв). Плотность вероятности нсв, ее определение и свойства
- •3. Равномерный (прямоугольный) закон распределения и его числовые характеристики.
- •Лекция 6 Тема 5: Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения
- •1. Нормальный закон распределения
- •2. Формулы для определения вероятностей: а) попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал; б) ее отклонения от математического ожидания. Правило трех сигм
- •3. Центральная предельная теорема. Понятие о теореме Ляпунова
- •Лекция 7 Тема 6: Двумерные (n-мерные) случайные величины
- •1. Понятие двумерной (n-мерной) случайные величины
- •2. Условные распределения и их нахождение по таблице распределения
- •3. Понятие о функции распределения и плотности вероятности двумерной случайной величины
- •4. Ковариация и коэффициент корреляции
- •Лекция 8 Тема 6: Двумерные (n-мерные) случайные величины Тема 7: Закон больших чисел
- •1. Двумерное нормальное распределение. Условное математическое ожидание и условная дисперсия
- •2. Лемма Чебышева (неравенство Маркова) Неравенство Чебышева и его частные случаи для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, и для частости события
- •3. Неравенство Чебышева для средней арифметической случайных величин. Теорема Чебышева и ее значение
- •4. Закон больших чисел. Теорема Бернулли и ее практическое значение
- •Лекция 9 Тема 8. Выборочный метод. Общие вопросы
- •1. Вариационный ряд, его разновидности. Средняя арифметическая и дисперсия ряда
- •2. Генеральная и выборочная совокупности. Основная задача выборочного метода
- •3. Понятие об оценке параметров генеральной совокупности. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность
- •Лекция 10 Тема 9: Оценка доли признака и генеральной средней
- •1. Оценка генеральной доли и генеральной средней по собственно-случайной выборке. Несмещенность и состоятельность оценок
- •2. Оценка генеральной средней по собственно-случайной выборке
- •2. Оценка генеральной дисперсии по собственно-случайной выборке. Исправленная выборочная дисперсия
- •3. Понятие доверительного интервала и доверительной вероятности оценки
- •4. Средняя квадратическая ошибка выборки при оценке генеральной доли и генеральной средней
- •5. Определение необходимого объема повторной и бесповторной выборок
- •Лекция 11 Тема 10: Элементы статистической проверки гипотез
- •1. Статистическая гипотеза и статистический критерий
- •2. Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Понятие о критериях согласия
- •3. Критерий согласия 2 Пирсона и схема его применения
- •Лекция 12 Тема 11: Элементы теории корреляции
- •1. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Основные задачи теории корреляции
- •2. Линейная корреляция. Уравнения прямых регрессии для парной корреляции
- •3. Оценка тесноты связи. Коэффициент корреляции (выборочный), его определение и свойства
- •4. Коэффициент детерминации и корреляционное отношение.
- •5. Проверка значимости уравнения регрессии
3. Равномерный (прямоугольный) закон распределения и его числовые характеристики.
Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на отрезке [a, b], если ее плотность вероятности φ(х) постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е.
Теорема. Функция распределения случайной величины Х, распределенной по равномерному закону, есть
Ее математическое ожидание
,
а дисперсия
.
Доказательство. При х ≤ а функция распределения F(x) = 0.
При а < x ≤ b имеем:
.
При x > b очевидно, что
Математическое ожидание случайной величины Х с учетом его механической интерпетации как центра массы равно абсциссе середины отрезка, т.е. M(X) = .
Дисперсию посчитаем по формуле:
=
Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчетов, в ряде задач массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений, подчиненных заданному распределению.
Лекция 6 Тема 5: Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения
ПЛАН
1. Определение нормального закона распределения.
2. Формулы для определения вероятностей: а) попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал; б) ее отклонения от математического ожидания. Правило трех сигм.
3. Центральная предельная теорема. Понятие о теореме Ляпунова.
1. Нормальный закон распределения
Для непрерывных случайных величин особо важное значение имеет нормальный закон распределения. Необходимо знать теоретико-вероятностный смысл его параметров, выражение функции распределения FN(x) через функцию Лапласа Ф(х), свойства нормально распределенной случайной величины, правило трех сигм, важно четко представлять, что нормальный закон, в отличие от других, является предельным законом, к которому при некоторых весьма часто встречающихся условиях приводит совокупное действие (сумма) п независимых случайных величин Х1, Х2, … , Хn при п.
Определение 1. Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами a и 2, если ее плотность вероятности имеет вид:
.
Многие величины подчиняются нормальному закону, например, рост человека, дальность полета снаряда и т.п.
Кривую нормального закона распределения называют нормальной кривой или гауссовой кривой.
Теорема 1. Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, равно параметру а этого закона , т.е. M(X)=a , а ее дисперсия равна параметру 2 , т.е. D(X)= 2.
Доказательство. Математическое ожидание случайной величины Х:
.
Первый интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку. Второй интеграл – это интеграл Пуассона, равный .
Дисперсия случайной величины Х:
.
При изменении параметра a гауссова кривая параллельно смещается вдоль оси Ох.
При изменении параметра 2 изменяется ордината максимума гауссовой кривой.
Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами a=0 и 2=1 называется стандартным (или нормированным), а соответствующая нормальная кривая – стандартной.
Функция распределения НСВ выражается через плотность вероятности по формуле .
Следовательно, функция распределения нормально распределенной случайной величины выражается по формуле , в которой подынтегральная функция не имеет первообразной функции, выражающейся через элементарные функции.
Поэтому ее выражают через функцию Лапласа , для которой составлены таблицы.
Теорема 1. Функция распределения случайной величины, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа (x) по формуле:
.
Доказательство.
,
так как .