- •Содержание
- •Глава 1. Линейная алгебра
- •§ 1. Определители
- •§ 2. Правило крамера
- •§ 3. Матрицы
- •§ 4. Матричная форма системы линейных уравнений
- •§ 5. Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы
- •§ 6. Решение системы линейных уравнений методом гаусса
- •§ 7. Исследование системы m линейных уравнений с п неизвестными
- •§ 8. Понятие вектора
- •§ 9. Двумерные векторы (векторы на плоскости)
- •§ 10. Трехмерные векторы (векторы в пространстве)
- •§ 11. Понятие п – мерного вектора. Линейное пространство
- •§ 12. Скалярное произведение векторов
- •§ 13. Векторное произведение векторов
- •§ 14. Смешанное произведение векторов
- •§ 15. Линейный оператор
- •§ 16. Евклидово пространство
- •§ 17. Квадратические формы
- •Принято говорить, что квадратичная форма приведена к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования в.
- •Определяем собственные векторы. Если то получаем систему уравнений
- •При получаем систему
- •Из семейства собственных векторов выделим два каких-нибудь ортогональных вектора. Полагая, например, ,
- •Подберем параметры и b так, чтобы выполнялось равенство
- •Глава 2. Элементы высшей алгебры
- •§ 1. Комплексные числа
- •§ 2. Многочлены
- •Глава 3. Аналитическая геометрия на плоскости
- •§ 1. Уравнение линии
- •§ 2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •§ 3. Общее уравнение прямой
- •§ 4. Кривые второго порядка
- •§ 5. Классификация кривых второго порядка
- •§ 6. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •Глава 4. Аналитическая геометрия в пространстве
- •§ 1. Уравнение поверхности
- •§ 2. Плоскость
- •§ 3. Прямая в пространстве
- •§ 4. Взаимное расположение прямой и плоскости
- •§ 5. Поверхности второго порядка
- •§ 6. Приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду
- •При получаем систему
- •При получаем систему
- •При получаем систему
- •§ 7. Метод сечений
- •Литература
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
ВОСТОЧНОУКРАИНСКОГО НАЦИОНАЛЬНОГО УНИВЕРСИТЕТА
имени ВЛАДИМИРА ДАЛЯ
( г.СЕВЕРОДОНЕЦК )
Кафедра высшей и прикладной математики
БОГДАНОВ А.Е.
КУРС ЛЕКЦИЙ
по дисциплине
«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
(Линейная алгебра и аналитическая геометрия).
Для студентов дневной и заочной форм обучения
направления подготовки 6.050102
«Компьютерная инженерия»
УТВЕРЖДЕНО
на заседании кафедры
высшей и прикладной
математики
Протокол № 5 от 09.02.2011г.
СЕВЕРОДОНЕЦК 2011
УДК 519
Курс лекций по дисциплине «Высшая математика» (Линейная алгебра и аналитическая геометрия). Для студентов дневной и заочной форм обучения направления подготовки 6.050102 «Компьютерная инженерия» (электронное издание) /Сост. А.Е.Богданов - Северодонецк: ТИ ВНУ имени Владимира Даля, - 2011. – 163 с.
Составитель: А.Е. Богданов, доц.
Ответственный за выпуск: О.В. Поркуян, доц.
Рецензент: А.И. Иванов, доц.
Содержание
ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
§ 1. Определители………………………………………………..5
§ 2. Правило Крамера……………………………………………11
§ 3. Матрицы……………………………………………………...14
§ 4. Матричная форма системы линейных уравнений…………20
§ 5. Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы…………………...23
§ 6. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса…24
§ 7. Исследование системы т линейных уравнений
с п неизвестными…………………………………………...28
§ 8. Понятие вектора…………………………………………….. 31
§ 9. Двумерные векторы (векторы на плоскости)………………35
§ 10. Трехмерные векторы (векторы в пространстве)……………39
§ 11. Понятие п-мерного вектора. Линейное пространство…….42
§ 12. Скалярное произведение векторов………………………….48
§ 13. Векторное произведение векторов………………………….50
§ 14. Смешанное произведение векторов…………………………54
§ 15. Линейный оператор…………………………………………..56
§ 16. Евклидово пространство……………………………………..67
§ 17. Квадратичные формы………………………………………...77
ГЛАВА 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
§ 1. Комплексные числа…………………………………………..85
§ 2. Многочлены…………………………………………………..98
ГЛАВА 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. Уравнение линии…………………………………………….105
§ 2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом……………109
§ 3. Общее уравнение прямой…………………………………...113
§ 4. Кривые второго порядка…………………………………….119
§ 5. Классификация кривых второго порядка…………………..127
§ 6. Приведение общего уравнения кривой второго
порядка к каноническому виду……………………………..128
ГЛАВА 4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Уравнение поверхности……………………………………..138
§ 2. Плоскость……………………………………………………138
§ 3. Прямая в пространстве……………………………………...142
§ 4. Взаимное расположение прямой и плоскости…………….145
§ 5. Поверхности второго порядка……………………………...147
§ 6. Приведение общего уравнения поверхности второго
порядка к каноническому виду…………………………….155
§ 7. Метод сечений………………………………………………160
ЛИТЕРАТУРА…………………………………………………………….163
Глава 1. Линейная алгебра
§ 1. Определители
Определителем 2-го порядка называется число вида
Δ = |aik| = = а11а22 − а12а21. (1)
Числа а11, а12, а21, а22 − элементы определителя.
а11 а12 − 1-я строка, а21 а22 − 2-я строка,
− 1-й столбец, − 2-й столбец.
Элемент aik стоит на пересечении i-й строки и k-ого столбца, т.е. i − номер строки, k − номер столбца.
а11 а22 − главная диагональ, а12 а21 − побочная диагональ.
Пример.
□ Δ = = 4 − (−3)(−1) = 8 − 3 = 5. ■
Определителем 3-го порядка называется число вида
Δ = |aik| = = а11а22а33 + а13а21а32 + а12а23а31 − а13а22а31 −
− а11а23а32 − а12а21а33. (2)
Все сказанное для определителя 2-го порядка справедливо и для определителя 3-го порядка.
Вычисление определителя 3-го порядка:
1) “правило треугольников”
(+) (−)
2) “правило Саррюса”
(−) (−) (−) (+) (+) (+)
Пример.
□ Δ = = 1∙3∙1 + 4∙1∙8 + 2∙5∙1 − 5∙3∙8 − 1∙1∙1 − 4∙2∙1 = 3 + 32 +
+ 10 −120 − 1 − 8 = 45 − 129 = − 84. ■
Существуют определители более высоких порядков.
Определителем п-го порядка называется число вида
Δ = |aik| = . (3)
Свойства определителей
10. Величина определителя не меняется, если у него заменить строки соответствующими столбцами:
= .
20. Величина определителя меняет знак, если у него поменять местами две строки (столбца):
= − .
30. Общий множитель, присутствующий в строке или столбце, можно выносить за знак определителя:
= k .
40. Величина определителя равна нулю, если элементы какого-либо его столбца или строки равны нулю:
= 0∙а22 − 0∙а21 = 0.
50. Величина определителя равна нулю, если элементы двух строк (столбцов) соответственно равны (пропорциональны):
= а11а12 − а12а11 = 0.
Пусть задан определитель 3-го порядка
Δ = .
Зачеркнем (мысленно), например, 1-ую строку и 2-ой столбец в этом определителе:
.
В результате получим определитель 2-го порядка
,
который называют минором элемента а12 и обозначают М12. В общем случае зачеркивают i-ую строку и k-ый столбец. В результате получают минор Мik элемента аik.
Величина
Аik = (−1)i+kМik
называется алгебраическим дополнением элемента аik.
60. Сумма произведений элементов аik некоторой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения этих элементов равна величине определителя
Δ = , (i = 1, 2,…, n);
Δ = , (k = 1, 2,…, n).
○ Пусть задан определитель 3-го порядка
Δ = .
Рассмотрим, например, 3-ю строку определителя. Согласно условию свойства 60 имеем:
= а31А31 + а32А32 + а33А33 = а31(−1)3+1 +
+ а32(−1)3+2 + а33(−1)3+1 = а31 −
− а32 + а33 = а31(а12 а23 − а13 а22) −
− а32(а11 а23 − а13 а21) + а33(а11 а22 − а12 а21) = Δ. ●
Замечание 1. Свойство 60 называют разложением определителя по строке (столбцу).
Замечание 2. Если все элементы определителя, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю (ступенчатый вид определителя), то Δ = а11а22 ∙ …∙ апп.
Пример. Вычислить определитель
Δ = .
□ Разложим определитель, например, по третьему столбцу
= 5(−1)1+3 + 1(−1)2+3 + 1(−1)3+3 = 5(2 − 24) −
− 1(1− 32) + 1(3 − 8) = −110 + 31 − 5 = 31 − 115 = − 84. ■
70. Сумма произведений элементов аik некоторой строки (столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равно нулю
= = 0,
(i j, i, j = 1, 2, … , n).
○ Покажем это свойство на определителе 2-го порядка:
Δ = = а11 (−1)2+1а12 − а12 (−1)2+2а11 = − а11 а12 + а12 а11 = 0. ●
80. Два определителя одинакового порядка, отличающихся только одной строкой (столбцом), можно складывать. В результате получится определитель того же порядка
○ Рассмотрим определители 3-го порядка. По условию
Δ1 + Δ2 = + = = Δ.
Действительно, разлагая данные определители по элементам 3-го столбца, получим
Δ1 + Δ2 = + = = Δ. ●
90. Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на число k.
○ Например,
= + k = Δ + k∙0 = Δ,
Δ – величина определителя 3-го порядка. ●
Замечание. Свойство 90 позволяет понизить порядок заданного определителя.
Пример. Вычислить определитель
Δ = .
□ Умножим 1-ую строку на −2 и сложим со 2-ой строкой; умножим 1-ую строку на −8 и сложим с 3-ей строкой. Потом разложим полученный определитель по 1-ому столбцу:
Δ = = = 1∙А11 + 0∙А21 + 0∙А31 =
= = = 5∙39 − 9∙31 = −84. ■
100. Два определителя одного порядка можно перемножать. В результате получится определитель того же порядка.
○ Рассмотрим определители 2-го порядка:
Δ1 ∙Δ2 = ∙ = = Δ. ●
Замечание. Говорят, что элемент искомого определителя Δ, стоящий на пересечении i-й строки и k-ого столбца равен произведению i-й строки определителя Δ1 на k-ый столбец определителя Δ2. На самом деле это есть сумма произведений элементов i-й строки определителя Δ1 на соответствующие элементы k-ого столбца определителя Δ2.