- •Глава 3. Аналитическая геометрия.
- •§ 1. Аналитическая геометрия на плоскости.
- •1.1 Прямая линия на плоскости.
- •1.2 Кривые на плоскости.
- •1.3 Кривые на плоскости, заданные параметрическими уравнениями и в полярных координатах.
- •§ 2. Аналитическая геометрия в пространстве.
- •2.1 Прямая и плоскость в пространстве.
- •2.2. Поверхности и кривые в пространстве.
Глава 3. Аналитическая геометрия.
§ 1. Аналитическая геометрия на плоскости.
1.1 Прямая линия на плоскости.
Нормальным вектором прямой , называется всякий ненулевой вектор перпендикулярный данной прямой. Направляющим вектором прямой , называется всякий ненулевой вектор параллельный данной прямой.
Прямая на плоскости в системе координат может быть задана уравнением одного из следующих видов:
1) - общее уравнение прямой, где - нормальный вектор прямой;
2) - уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору ;
3) - уравнение прямой, проходящей через точку параллельно данному вектору (каноническое уравнение);
4) - уравнение прямой, проходящей через две данные точки , ;
5) - уравнения прямой с угловым коэффициентом , где - точка через которую прямая проходит; ( ) – угол, который прямая составляет с осью ; - длина отрезка (со знаком ), отсекаемого прямой на оси (знак « », если отрезок отсекается на положительной части оси и « », если на отрицательной).
6) - уравнение прямой в отрезках, где и - длины отрезков (со знаком ), отсекаемых прямой на координатных осях и (знак « », если отрезок отсекается на положительной части оси и « », если на отрицательной).
Расстояние от точки до прямой , заданной общим уравнением на плоскости, находится по формуле:
.
Угол , ( ) между прямыми и , заданными общими уравнениями или уравнениями с угловым коэффициентом, находится по одной из следующих формул:
; .
, если или .
,если или
Координаты точки пересечения прямых и находятся как решение системы линейных уравнений:
или .
В задачах 3.1-3.3 требуется написать уравнение прямой, привести его к общему виду и построить прямую:
3.1 Прямая задана точкой и нормальным вектором : а) ; б) ;
в) .
3.2 Прямая задана точкой и направляющим вектором :а) ; б) ;
в) .
3.3 Прямая задана двумя своими точками и : а) ; б) ;
в) .
3.4 Определить угловой коэффициент и отрезки, отсекаемые на осях координат прямой, заданной уравнением. Построить прямую.
3.5 Вычислить угол между двумя прямыми:
.
3.6 Через точку провести прямую, параллельную прямой
3.7 Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки на прямую
3.8 Написать уравнение прямой, которая проходит через начало координат и: а) параллельна прямой
б) образует угол в с прямой
в) перпендикулярна
г) образует угол в с прямой
3.9 Через точку провести прямую, отсекающую равные отрезки на осях координат.
3.10 Написать уравнение прямой, которая проходит через точку и параллельна: а) оси абсцисс;
б) биссектрисе координатного угла; в) прямой
3.11 Даны вершины треугольника: Через каждую из них провести прямую, параллельную противолежащей стороне.
3. 12 Даны вершины треугольника: Составить уравнения: а) трех его сторон;
б) высоты, опущенной из вершины на сторону ;
в) медианы, проведенной из вершины ;
г) биссектрисы угла .
3.13 Определить площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой
3.14 Через точку провести прямую так, чтобы площадь треугольника, образованного ею и осями, была равна .
3.15 Найти расстояние точки :
а) от прямой
б) от прямой
в) от прямой
3.16 На оси ординат прямоугольной системы координат найти точку, одинаково удаленную от начала координат и от прямой
3.17 Доказать, что прямые параллельны между собой, и найти расстояние между ними.
3.18 Даны уравнения двух параллельных прямых: Составить уравнение прямой им параллельной и проходящей посередине между ними.
3.19 Найти точку, симметричную с точкой относительно прямой
3.20 Написать уравнения биссектрис углов, образованных прямыми:
3.21 Даны уравнения сторон треугольника: Вычислить координаты его вершин.
3.22 Даны две вершины треугольника и точка пересечения его высот. Вычислить координаты третьей вершины
3.23 Составить уравнения высот треугольника, зная уравнения его сторон:
3.24 Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин и уравнения двух высот: и
3.25 Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин и уравнения двух медиан: и
3.26 Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин и уравнения биссектрис двух его углов: