§6. Властивості неперервних на відрізку функцій

6.1. Обмежені функції

Функції, неперервні на відрізку, мають ряд властивостей, яких, взагалі кажучи, не мають функції, неперервні, наприклад, в інтервалі. Ці властивості ми й розглянемо далі.

ТЕОРЕМА 1 (Вейєрштрасса). Неперервна функція на відрізку обмежена на цьому відрізку, тобто існують такі два числа і , що для всіх .

Доведення. Доводячи за допомогою методу міркування від супротивного, припустимо, що функція , неперервна на відрізку , не обмежена на цьому відрізку. Тому для кожного натурального знайдеться точка така, що

Послідовність обмежена. За відповідною теоремою математичного аналізу з цієї послідовності можна виділити збіжну послідовність , ( ) і точка належить обов’язково відрізку , тому в ній функція неперервна, якщо , неперервна справа, якщо і неперервна зліва, якщо Отже, ми можемо записати такі два твердження:

і

.

Звідси з першої нерівності випливає, що послідовність необмежена, а з другого твердження випливає, що вона, будучи збіжною, обмежена. Суперечність, до якої ми дійшли, доводить теорему 1.

6.2. Існування найменшого і найбільшого значення

Нехай функція визначена на множині .

Значення , називається найменшим (найбіль-

шим) значенням функції на множині , якщо для будь-якого правильна нерівність Найменше і найбільше значення функції не завжди існують.

Однак правильна теорема.

ТЕОРЕМА 2 (Вейєршрасса). Якщо функція неперервна на відрізку , то серед її значень на цьому відрізку існує найменше і найбільше, тобто , і , ; , і , .

Доведення. Оскільки функція неперервна на відрізку , то за теоремою 1 всі її значення обмеженні, тобто , де і - сталі величини. Тоді для такої множини значень функції існує точна верхня межа. Нехай Припустимо, що , коли .

Розглянемо нову функцію .

Оскільки , то функція

неперервна на відрізку , а значить за теоремою 1 вона обмежена, тобто існують числа і такі, що ( .

Розглянемо нерівність .

Звідси одержуємо, що

Остання нерівність показує, що число не може бути точною верхньою межею. Отже, наше припущення неправильне. Теорема 2 доведена.

6.3. Теорема про перетворення функції в нуль

Для доведення наступної властивості функцій, неперервних на відрізку, потрібна одна локальна властивість неперервної функції.

ДОПОМІЖНА ТЕОРЕМА. Якщо функція неперервна в точці x₀ справа (зліва) і якщо , то знайдеться число >0 таке, що для всіх ( ) зна-

чення функції за знаком будуть такими, як .

Доведення. Нехай для означеності f(x₀)>0 і функція неперервна в точці справа. Тоді для числа

існує число таке, що для всіх буде правильна

нерівність .

Звідси для маємо

Теорема доведена для розглядуваного випадку. Інші випадки доводяться аналогічно.

Наслідок 1. Якщо функція неперервна в точці і якщо , то знайдеться окіл точки , для всіх точок якого значення функції за знаком будуть такими ж, як .

ТЕОРЕМА 3 (Больцано-Коші). Якщо функція неперервна на відрізку і якщо значення цієї функції на кінцях цього відрізка протилежні за знаком, то існує принаймні одна точка с(а,b), значення функції в якій дорівнює нулю, тобто .

Доведення. Нехай для означеності , . Оскільки функція в точці неперервна справа , а в точці x=b неперервна зліва, то за допоміжною теоремою знайдеться число таке, що для всіх і для всіх

x(b-δ,b). Позначимо через множину всіх точок xa,b в яких f(x)<0. Ця множина непорожня, оскільки . Вона обмежена зверху числом . Така множина має точну верхню межу. Позначимо її через . Ясно, що і, отже, . Доведемо рівність .

Припустимо, що . Оскільки , то за наслідком 1 допоміжної теореми знайдеться окіл ) точки , в усіх точках якого значення функції за знаком будуть такими ж, як .

Якщо , то для всіх ), що суперечить означенню числа як верхньої грані множини всіх тих точок , в яких .

Якщо , тоді для всіх ), що знову ж таки суперечить означенню числа як верхньої грані множини , бо за властивістю верхньої грані в проміжку міститься проміжна одна точка з множини , в якій .Припущення, що , привело до суперечності. Отже, і теорему 3 доведено.