§2. Класифікація функцій

2.1. Поняття функції. Способи задання функції

Означення 1. Нехай і - дві числові множини. Якщо кожному значенню  за деяким правилом (законом) поставимо у відповідність одне дійсне число  , то будемо говорити , що на множині задано функцію .

Множина називається областю визначення

функції, а множина - називається областю значень функції, х – називається аргументом функції.

Функції позначаються малими буквами латинського

алфавіту і т.д.

Але для простоти вивчення курсу вищої математики надалі ми будемо використовувати такі формулювання і позначення функцій: нехай задано функції і т.д.

Основними способами задання функції є такі: аналітичний, табличний, графічний, словесний.

Функція, задана аналітично, якщо вона задана за допомогою однієї або кількох формул. Табличний спосіб полягає в тому, що функцію задають за допомогою таблиці, яка містить ряд окремих значень аргументу і відповідні їм значення функції.

Графічний спосіб задання функції полягає в тому, що її подають на малюнку у вигляді певної кривої, що задає множину точок , яку називають графіком функції.

Якщо функцію не можна задати першими трьома способами, то її описують за допомогою висловлень (опису). В цьому полягає словесний спосіб задання функції.

2.2. Класифікація функцій

а) Обмежені функції:

Означення 2. Функція , яка визначена на множині називається обмеженою зверху (знизу), якщо існує число таке, що для всіх  виконується нерівність ( ).

Якщо функція , обмежена на множині і зверху і знизу, то вона називається обмеженою на всій множині .

Наприклад, функція обмежена на всій числовій осі, для  ( .

б) Монотонні функції:

Означення 3. Функція , яка визначена на множині називається: а) зростаючою; б) спадною; в) незростаючою; г) неспадною на цій множині, якщо для будь-яких і , які належать множині і при < мають місце відповідні нерівності : а) б) в)

г)

Функції, які задовольняють даному означенню, називають монотонними.

в) Парні і непарні функції:

Означення 4. Функція називається парною, якщо для будь-яких  = виконується умова і непарною, якщо

Наприклад, - парна функція, - непарна функція. Зауважимо, що графік парної функції симетричний відносно осі , а графік непарної функції - симетричний відносно початку координат.

г) Періодичні функції:

Означення 5. Функція , яка визначена на всій числовій осі називається періодичною, якщо існує таке число яке називається періодом, що має місце нерівність для всіх x

Наприклад,

Функція є періодична з періодом .

д) Складні функції:

Означення 6. Нехай функція визначена на множині , а функція визначена на множині і всі її значення  . Тоді змінна через проміжну змінну є функцією : В цьому випадку є складною функцією або функцією від функції.

Наприклад, , Тоді є складною функцією .

е) Обернені функції:

Нехай функція задана на множині , а множина значень (область зміни функції ) є . Якщо кожному значенню відповідає одне значення , для якого , то на множині можна визначити функцію так, що кожному значенню буде відповідати одне значення , для якого

Функція називається оберненою відносно

функції , яка задовольняє для всіх умові

Приклад. Нехай задана функція , . Оберненою для даної функції буде функція = .

є) Неявна функція від однієї змінної.

Якщо функція задана не рівнянням вигляду , а рівнянням вигляду , то у припущенні, що на деякій множині рівняння має єдиний розв’язок , тоді рівність називають неявним заданням функції.

Наприклад, , - явні функції, а рівняння визначає неявну функцію від .

ж) Елементарні функції.

Cтепенева функція , показникова , логарифмічна ,тригонометричні , , , обернені тригонометричні , , і стала називаються основними елементарними функціями.

Означення 7. Основні елементарні функції, а також функції, знайдені за допомогою формул, що містять лише скінчене число арифметичних дій (+,-, ) і суперпозицій основних елементарних функцій, називаються елементарними функціями.

Наприклад, - елементарна функція.

Елементарні функції поділяються на такі класи:

1)Цілі раціональні функції:

Цілі раціональні функції – це функції вигляду , де сталі дійсні числа. Такі функції називаються ще многочленами, а числа - коефіцієнтами многочлена; якщо , то число називають степенем многочлена.

2) Раціональні функції:

Раціональні функції – це функції вигляду

тобто це частка двох цілих

раціональних функцій (многочленів).

Якщо , , то раціональна функція називається дробово-раціональною.

3)Ірраціональні функції:

Ірраціональні функції - це функції, які задані за допомогою суперпозицій раціональних функцій, степеневих функцій з раціональними показниками і чотирьох арифметичних дій, застосованих скінчене число раз. Наприклад, - ірраціональна функція .

4) Алгебраїчні функції:

Функція від ( називається алгебраїчною, якщо вона задовольняє рівняння

де P_k(x),( - алгебраїчні многочлени від .

Всяка раціональна функція є алгебраїчною, оскільки , де

5)Трансцендентні функції:

Елементарні функції, які не є алгебраїчними, називаються трансцендентними елементарними функціями. Можна показати, що тригонометричні, обернено тригонометричні, показникова і логарифмічна функції є трансцендентними елементарними функціями.

6) Деякі неелементарні функції:

1. - абсолютне значення, або

м одуль,числа

2 . – ціла частина числа

3. – дробова частина числа

4.

- знак числа