- •Лекция 8.
- •§ 43. Векторное произведение
- •§ 44. Смешанное произведение трех векторов
- •§ 45. Координаты вектора векторного произведения
- •§ 46. Свойства векторного произведения
- •§ 47. Двойное векторное произведение
- •§ 48. Площадь параллелограмма и треугольника в пространстве.
- •§ 50. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
- •§ 51. Общее уравнение прямой
- •§ 52. Направляющий вектор прямой, заданной общим уравнением.
- •§ 53. Частные случаи расположения прямой относительно системы координат
- •§ 54. Параметрические уравнения прямой
- •§ 55. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки
- •§ 56. Уравнение прямой в отрезках
- •§ 57. Угловой коэффициент прямой
- •§ 58. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
§ 52. Направляющий вектор прямой, заданной общим уравнением.
Из предыдущей теоремы следует, что если прямая задана общим уравнением
относительно общей декартовой системы координат, то вектор и всякий ненулевой вектор, с ним коллинеарный, является направляющим вектором этой прямой.
Теорема 4. Необходимым и достаточным условием того, что вектор коллинеарен прямой, заданной относительно общей декартовой системы координат уравнением
является условие
(1)
Доказательство. Отложим вектор , от любой точки данной прямой. Конец р отложенного вектора будет иметь координаты .
Вектор коллинеарен данной прямой тогда и только тогда, когда точка р лежит на данной прямой, т.е. тогда и только тогда, когда выполнено равенство
или
( , т.к. точка лежит на данной прямой). Ч.т.д.
Теорема 5. Если прямая задана общим уравнением
относительно декартовой прямоугольной системы координат, то вектор
перпендикулярен этой прямой.
Доказательство. В самом деле, направляющий вектор прямой является вектор , тогда, взяв скалярное произведение, имеем:
,
значит, вектор перпендикулярен направляющему вектору данной прямой, а потому вектор перпендикулярен и самой прямой. Ч.т.д.
Для общей декартовой системы координат это положение, вообще говоря, не имеет места. Вектор , координаты которого служат коэффициентами в общем уравнении прямой относительно общей декартовой системы координат, называется главным вектором этой прямой.
Главный вектор , заданной уравнением относительно общей декартовой системы координат, неколлинеарен этой прямой. В самом деле, по условию коллинеарности вектора и прямой , имеем:
, .
§ 53. Частные случаи расположения прямой относительно системы координат
Прямая коллинеарна оси Ох, тогда и только тогда, когда А = 0, т.к. направляющий вектор прямой коллинеарен оси Ох тогда и только тогда, когда вторая координата этого вектора равна нулю.
Уравнение прямой в случае, если эта прямая коллинеарна оси Ох, имеет, таким образом, вид , или (где ).
Аналогично доказывается, что прямая коллинеарна оси Оу тогда и только тогда, когда В = 0, т.е. тогда, когда общее уравнение прямой имеет вид , или .
Необходимым и достаточным условием того, что прямая проходит через начало координат, является равенство С = 0, т.к. в случае С = 0 и только в этом случае уравнение удовлетворяется координатами начала координат.
Таким образом, общее уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид , и обратно (т.е. любое однородное уравнение первой степени определяет прямую, проходящую через начало координат).
§ 54. Параметрические уравнения прямой
Теорема 6. Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор , в общей декартовой системе координат имеют вид
.
Доказательство. Пусть произвольная точка плоскости. Тогда будет лежать на данной прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны, т.е. тогда и только тогда, когда они отличаются числовым множителем:
, (1)
или в координатах
откуда
Если t принимает все действительные значения, то точка М с этими координатами описывает всю данную прямую. Ч.т.д.
Замечание 1. Из соотношения (1) находим
,
т.е. t есть координата точки М на данной прямой в следующей системе координат: - начало координат, - масштабный вектор.
Замечание 2. Вводя радиусы векторы и точек и М, можно соотношение , переписать так:
,
откуда
Это уравнение называется параметрическим уравнением прямой в векторной форме, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор .