1.4.1. Операторное представление некоторых сигналов

1.

2.

3.

4.

5.

Взяв интеграл по частям, получим

6.

1.4.2. Свойства преобразования Лапласа

1. Свойство линейности

Если ), где а, в, с – вещественные числа.

Тогда

, где (1.4.8)

где S1(з), S2(з), S3(з) – тзображения сигналов s1(t), s2(t), s3(t) соответственно, а S(з) изображение сигнала s(t).

2. Свойство задержки.

Дан сигнал s(t), изображение которого S(з). Найти изображение сигнала s1(t) = s(t - to). Сигнал s1(t) отличается от сигнала s(t) сдвигом на интервал t0 вправо по оси времени, т.е. задержкой на время to.

Изображение сигнала s(t) будет иметь вид:

. (1.4.9)

а изображение сигнала s1(t)=s(t – to) вид:

. (1.4.10)

В последнем выражении сделаем замену переменных t – to = τ.

Тогда t = τ + to, а dt = dτ и интеграл (1.3.10) примет вид:

. (1.4.11)

Так как exp(ptо) не зависит от τ, то этот сомножитель можно вынести за пределы интеграла.

Тогда получим (1.4.12)

В последнем выражении интеграл в скобках полностью совпадает с выражением (1.4.9), т. е.

. (1.4.13)

Таким образом сдвиг во временной области на время t0 вправо по оси времени приводит к умножению на exp(-ptо) в операторной области.

3. Свойство дифференцирования.

Дан сигнал s(t), изображение которого S(jω). Найти изображение сигнала s1(t) = ds(t)/dt.

Пусть изображения сигналов s(t) и s1(t) будут S(p) и S1(p) соответственно.

Тогда a (1.4.14)

(1.4.15)

Найдем

(4.4.16)

Меняя порядок дифференцирования и интегрирования и, продифференцировав по t, получим

(1.4.17)

Сравнивая (1.4.15) и (1.4.17), получаем

(1.4.18)

т .е. дифференцирование во временной области приводит к умножению на p в операторной области.

4. Свойство интегрирования.

Дан сигнал s(t), изображение которого S(jω). Найти изображение сигнала s1(t) = ∫s(t)dt.

Пусть изображения сигналов s(t) и s1(t) будут S(р) и S(р) соответственно. Тогда

(1.4.19)

(1.4.20)

Найдем (1.4.21) Изменяя порядок интегрирования и, интегрируя по t, получим

(1.4.22)

Сравнивая (1.4.22) и (1.3.20), получаем

(1.4.23)

т .е. интегрирование во временной области приводит к делению на jω в операторной области.

7. Спектральная плотность сигнала при изменении масштаба времени

Пусть для сигнала s(t), изображение которого S(р). Введем новое время τ = kt, где k – некоторое вещественное число. Тогда изображение S1(р) сигнала s(kt) будет иметь вид:

(1.4.24)

или ∞

и окончательно

-∞

(1.4.25)

8. Спектральная плотность свертки двух сигналов

Пусть даны два сигнала s1(t) и s2(t), спектральные плотности которых равны S1(р) и S2(р) соответственно. Тогда свертка этих сигналов будет иметь вид

(1.4.26)

Найдем изображение сигнала в виде:

(1.4.27)

Меняя порядок интегрирования, получим

(1.4.28)

С учетом свойства задержки

(1.4.29)

Тогда а

И окончательно (1.4.30)

т.е. изображение свертки двух сигналов равна произведению изображений этих сигналов.