Вопросы по высшей математике
1. Векторы в пространстве и линейные операции над ними. Проекция вектора на ось и на вектор. Линейная зависимость векторов. Радиус-вектор и координаты точки. Деление отрезка в данном отношении. Полярная система координат.
2. Скалярное произведение векторов, его свойства и механический смысл. Условие ортогональности двух векторов. Скалярное произведение в координатной форме.
3. Определители второго и третьего порядков и их свойства. Алгебраические дополнения и миноры. Теорема Лапласа.
4. Линейные алгебраические системы второго и третьего порядков. Правило Крамера.
5. Ориентация тройки векторов в пространстве. Векторное произведение векторов, его свойства, геометрический и физический смысл.
6. Векторное произведение в координатной форме. Условие коллинеарности векторов.
7. Смешанное произведение векторов, его геометрический и механический смыслы. Условие компланарности трех векторов.
8. Различные виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой.
9. Окружность, эллипс, их геометрические свойства и уравнения. Технические приложения геометрических свойств кривых.
10. Гипербола, парабола, их геометрические свойства и уравнения. Технические приложения геометрических свойств кривых.
11. Плоскость в пространстве и различные формы ее задания. Угол между двумя плоскостями. Расстояние от точки до плоскости.
12. Прямая в пространстве, ее канонические и параметрические уравнения. Общее уравнение прямой.
13. Угол между двумя прямыми, между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до прямой.
14.Расстояние между скрещивающимися и параллельными прямыми.
15. Поверхности второго порядка. Эллипсоиды, гиперболоиды, конусы, цилиндры.
16. Поверхности вращения. Цилиндрические и конические поверхности. Технические приложения геометрических свойств поверхностей.
17. Матрицы и линейные операции над ними, умножение матрицы на вектор. Произведение матриц. Транспонирование матриц. След матрицы. Перестановки и транспозиции. 18.Определители n-го порядка и их свойства. Определитель произведения матриц.
19. Обратная матрица и ее построение методом присоединенной матрицы и методом Гаусса. Свойства обратных матриц.
20. Системы линейных алгебраических уравнений, общие понятия. Матричный способ решения линейных систем. Формулы Крамера, метод Гаусса.
21.Линейные пространства. Подпространство и линейная оболочка. Линейная зависимость векторов, базис и размерность линейного пространства.
22. Ранг матрицы и его вычисление. Условие равенства нулю определителя. Теорема о базисном миноре.
23. Произвольные системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Однородные системы линейных уравнений. Структура общего решения. 24.Фундаментальная система решений. Неоднородные системы линейных уравнений, структура общего решения.
25. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Норма вектора и ее свойства. Ортогональный и ортонормированный базисы. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта. Разложение вектора по ортогональному базису.
26. Понятие линейного оператора. Примеры линейных операторов. Ядро, область значений, ранг и дефект линейного оператора. Матрица линейного оператора в заданных базисах. Действия над линейными операторами. Обратный оператор и его свойства.
27. Преобразование координат вектора и матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Подобные матрицы.
28.Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженные и самосопряженные операторы и их матрицы. Ортогональные операторы и их матрицы.
29. Собственные векторы и собственные значения матриц. Характеристические уравнения и многочлен матрицы. Собственные векторы и собственные значения симметричных матриц.
30. Теорема о полноте собственных векторов. Приведение матрицы к диагональному виду. Канонический вид матрицы самосопряженного оператора.
31. Линейные формы. Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.
32. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичных форм.
33.Применение квадратичных форм к исследованию кривых и поверхностей второго порядка
34. Модуль действительного числа и его свойства. Ограниченные и неограниченные множества. Верхняя и нижняя грани множеств. Аксиома о верхней (нижней) грани. Множество действительных чисел. Понятие функции, обратная функция. Окрестность точки.
35. Понятие числовой последовательности и ее предела. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
36.Свойства сходящихся последовательностей. Монотонные последовательности и критерий их сходимости. Число «е».
37. Предел функции в точке и на бесконечности. Свойства функций, имеющих предел. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Виды неопределенностей.
38.Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функций и их классификация.
39. Непрерывность элементарных функций. Замечательные пределы. Сравнение функций. Символы «о» и «О».
40.Эквивалентные функции, их применение к вычислению пределов функций. Сравнение бесконечно малых функций.
41. Функции, непрерывные на отрезке и их свойства: теорема Вейерштрасса, теорема Коши о прохождении функции через нуль, теорема Коши о промежуточном значении. Непрерывность обратной функции.
42. Равномерная непрерывность функции на отрезке. Отделение корня уравнения и метод половинного деления приближенного решения уравнения.
43. Производная, ее механический и геометрический смысл. Односторонние и бесконечные производные. Касательная и нормаль к плоской кривой.
44. Дифференцирование сложных, обратных и параметрически заданных функций.
45.Дифференцируемость функции в точке. Дифференциал функции и его смысл.
46. Производные и дифференциалы высших порядков. Понятие локального и глобального экстремума функции.
47.Правило Лопиталя. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши о среднем.
48. Возрастание и убывание функции на отрезке: необходимые и достаточные условия. 49.Необходимые и достаточные условия экстремума функции. Асимптоты графика. Построение графиков.
50. Комплексные числа и действия над ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексных чисел. Формулы Муавра и Эйлера. Извлечение корня из комплексного числа. Свойства комплексно-сопряженных выражений.
51. Многочлены и их делимость. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на множители. Условия тождественности двух многочленов. Признак кратности корня многочлена и функции.
52. Рациональные функции. Разложение рациональных функций на сумму простейших дробей. Методы нахождения коэффициентов разложения.
53. Первообразная. Неопределенный интеграл и его основные свойства. Таблица неопределенных интегралов.
54. Основные методы вычисления неопределенных интегралов: непосредственное (табличное) интегрирование, замена переменной, интегрирование по частям.
55. Рациональные функции, их разложение на сумму простейших рациональных дробей. Интегрирование рациональных функций.
56.Интегрирование некоторых иррациональных выражений.
57.Интегрирование некоторых тригонометрических выражений. Универсальная подстановка через тангенс половинного угла.
58. Интегральная сумма. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
59. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем для определенного интеграла. Замена переменных в определенном интеграле и интегрирование по частям.
60. Некоторые приложения определенных интегралов к вычислению площадей, объемов тел, работы.
61. Несобственные интегралы 1-го рода. Сходимость несобственных интегралов. Признаки сходимости несобственных интегралов. Главное значение несобственного интеграла.
62. Несобственные интегралы 2-го рода. Сходимость несобственных интегралов. Признаки сходимости несобственных интегралов. Главное значение несобственного интеграла.
63. Понятие функции нескольких (двух) переменных. Частные производные. Дифференцируемость функций двух переменных, дифференциал и его применение.
64. Градиент функции, производная по направлению. Возрастание и убывание функции в данном направлении. Геометрический смысл вектора-градиента. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
65. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных частных производных.
66. Экстремум функций нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума без ограничений. Условный экстремум.
Вопросы для экзамена «Высшая Математика»
1.Определение двойного интеграла, его смысл и свойства. Теорема о среднем для двойных интегралов.
2.Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат. Якобиан и его геометрический смысл. Замена переменных в двойном интеграле.
3.Применение интегралов к вычислению площадей, масс и объемов тел.
4.Полярная система координат. Двойные интегралы в полярной системе координат. Некоторые приложения двойных интегралов.
5.Тройной интеграл, его определение, свойства, вычисление и применение.
6.Замена переменных в тройных интегралах. Тройной интеграл в цилиндрической и сферической системах координат.
7.Задачи, приводящие к криволинейному интегралу 1-го рода, свойства и вычисление.
8.Задачи, приводящие к криволинейному интегралу 2-го рода, свойства и вычисление.
9.Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования. Восстановление функции по ее полному дифференциалу.
10.Формула Грина и ее применение к вычислению площадей плоских фигур.
11.Поверхностный интеграл 1-го рода, его вычисление, свойства и приложения.
12.Ориентация и нормаль к поверхности. Односторонние и двусторонние поверхности. Поверхностный интеграл 2-го рода, его вычисление и свойства.
13.Формулы Остроградского и Стокса.
14.Поток векторного поля через ориентированную поверхность и его вычисление.
15.Поток вектора через замкнутую поверхность.
16.Дивергенция векторного поля, ее свойства, вычисление и физический смысл. Соленоидальные векторные поля и их свойства.
17.Циркуляция векторного поля. Ротор векторного поля, его свойства, вычисление и физический смысл.
18.Потенциальные поля и их свойства. Условие потенциальности. Потенциал поля и его отыскание.
19.Криволинейные интегралы в потенциальном поле.
20.Оператор Гамильтона. Операции второго порядка. Оператор Лапласа.
21.Основные понятия теории дифференциальных уравнений (ДУ). ДУ 1-го порядка, интегральные кривые, задача Коши.
22.Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах.
23.Дифференциальные уравнения высших порядков. Постановка задачи Коши.
24.Теорема существования решения задачи Коши для ДУ высших порядков.
25.Случаи, допускающие понижения порядка ДУ высших порядков.
Однородные и неоднородные линейные ДУ. Свойство решений. Задача Коши.
26.Частное решение, общее решение ДУ. Структура решения неоднородного линейного ДУ.
27. Метод вариации произвольных постоянных.
28.Линейные ДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью: методы нахождения общего решения.
29.Системы линейных ДУ, метод исключения. Решение задачи Коши.
30.Числовой ряд и его сумма. Геометрическая прогрессия и сумма ее членов.
31.Остаток ряда. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда, выраженное через остаток ряда.
32.Свойства сходящихся числовых рядов. Необходимые условия сходимости ряда.
33.Критерии сходимости числовых рядов: признак сравнения и предельный признак сравнения.
34.Признаки сходимости числовых рядов: Даламбера, Коши, интегральный признак Коши.
35. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Оценка остатка ряда Лейбница. Абсолютная и условная сходимость рядов.
36.Функциональный ряд и его область сходимости. Признаки сходимости функциональных рядов: признак сравнения Вейерштрасса, признак Абеля.
37.Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда.
38.Непрерывность, интегрирование и дифференцирование суммы степенного ряда.
39.Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в ряд Маклорена (условие).
40.Ряды Маклорена для элементарных функций. Применение степенных рядов в анализе.
41.Ортогональность функций. Ортогональная тригонометрическая система функций.
42.Тригонометрический
ряд Фурье 2
-периодических
функций. Коэффициенты Фурье.
43.Теорема Дирихле о сходимости ряда Фурье. Ряд Фурье для четных и нечетных функций.
44.Ряд Фурье для функций, заданных на отрезке длины 2 .
45.Разложение в ряд Фурье функций, заданных на отрезке (0, ). Ряд Фурье для функций с произвольным периодом.
46.Ряды Фурье для четных и нечетных функций с произвольным периодом.
47.Комплексная форма ряда Фурье. Понятие о спектрах, гармоники.
48.Интеграл Фурье. Косинус и синус- преобразования Фурье, их свойства.
49.Комплексная форма интеграла Фурье.
50.Преобразование Фурье и его свойства.
51.Понятие функции комплексной переменной (ФКП). Основные элементарные функции.
52. Дифференцирование ФКП. Условия Коши-Римана. Гармонические функции.
53.Интеграл от ФКП, его свойства и вычисление. Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши для односвязной области.
54.Степенные ряды в комплексной области.
55.Особые точки аналитических функций. Нуль функции, полюсы, их связь между собой. Порядок нуля и полюса.
56.Понятие вычета и его вычисление в полюсе. Теорема о вычетах и ее приложение.
57.Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение. Линейные свойства преобразования Лапласа.
58.Смещение в области изображения и оригинала. Изображение периодического оригинала.
59.Свертка функций и ее изображение. Дифференцирование и интегрирование оригинала.
60.Дифференцирование и интегрирование изображения. Предельные соотношения для оригиналов и изображений.
61.Интеграл Дюамеля. Оригиналы, заданные графически.
62.Нахождение оригинала по изображению для рациональных функций. Формулы разложения.
63.Применение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.
64.Применение формулы Дюамеля к решению дифференциальных уравнений.
Высший государственный колледж связи_______________________
_____________________________________________________________________________
(название ВУЗа)
Э к з а м е н а ц и о н н ы й б и л е т № 1_
Дисциплина ____Высшая_математика______________________________________
Зимняя
------------ экзаменационная сессия 2009 - 2010 учебного года
Весенняя
1. Определение двойного интеграла, его смысл и свойства. Теорема о среднем для двойных интегралов.
2. Критерии сходимости числовых рядов: признак сравнения и предельный признак сравнения.
3. Задача.__________________________________________________________________
Заведующий кафедрой __________________ Преподаватель ____________________
Дата утверждения _23.03.2010, протокол № 8
Высший государственный колледж связи_______________________
_____________________________________________________________________________
(название ВУЗа)
Э к з а м е н а ц и о н н ы й б и л е т № 2_
Дисциплина ____Высшая_математика______________________________________
Зимняя
------------ экзаменационная сессия 2009 - 2010 учебного года
Весенняя
1. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат. Якобиан и его геометрический смысл. Замена переменных в двойном интеграле.
_____________________________________________________________________________
2. Признаки сходимости числовых рядов: Даламбера, Коши, интегральный признак Коши.
3. Задача.__________________________________________________________________
Заведующий кафедрой __________________ Преподаватель ____________________
Дата утверждения ___23.03.2010, протокол № 8
Высший государственный колледж связи_______________________
_____________________________________________________________________________
(название ВУЗа)
Э к з а м е н а ц и о н н ы й б и л е т № 3_
Дисциплина ____Высшая_математика______________________________________
Зимняя
------------ экзаменационная сессия 2009 - 2010 учебного года
Весенняя
1. Применение интегралов к вычислению площадей, масс и объемов тел.
2. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Оценка остатка ряда Лейбница. Абсолютная и условная сходимость рядов.
3. Задача.__________________________________________________________________
Заведующий кафедрой __________________ Преподаватель ____________________
Дата утверждения ___23.03.2010, протокол № 8
Высший государственный колледж связи_______________________
_____________________________________________________________________________
(название ВУЗа)
Э к з а м е н а ц и о н н ы й б и л е т № 4_
Дисциплина ____Высшая_математика______________________________________
Зимняя
------------ экзаменационная сессия 2009 - 2010 учебного года
Весенняя
1. Полярная система координат. Двойные интегралы в полярной системе координат. Некоторые приложения двойных интегралов.