2.2 Аналитическое решение

Решение первой краевой задачи кручения в случае однородных граничных условий по всему контуру, полученное численным методом (см. рис. 4), дает автомодельное распределение u =u(r), близкое к распределению осевой скорости вязкого течения в бесконечной трубе [3]. Поэтому аналитическое решение задачи будем искать в виде:

. (23)

Подставляя это распределение в уравнение равновесия:

, (24)

получим

. (25)

Сокращая в последнем выражении на , получим характеристическое уравнение для n:

или

. (26)

Откуда

.

Решение со знаком «минус» перед радикалом дает неограниченные значения окружной компоненты в нуте, не имеющее физического смысла. Тогда окончательно получим

. (27)

Константу в распределении (27) находим, используя граничное условие (20):

.

Откуда

. (28)

Рис. 7. Сопоставление результатов расчета с аналитическим решением (27)

2.3 Визуализация полученных результатов

Рис. 3. Распределение окружной компоненты смещения в задаче об однородном кручении
Рис. 4. Распределение окружного смещения в задаче о контактном кручении Рис. 5. Касательное напряжение при контактном кручении стержня Рис. 6. Ненулевая нормальная составляющая напряжения в плоской задаче контактного кручения Анализ этих зависимостей позволил определить максимальные касательные и нормальные напряжения. Так как рассматриваемый нами стержень должен подвергаться только упругой деформации, и не должны проявляться эффекты пластичности, поэтому максимальные напряжения, возникающие при кручении, не должны превышать коэффициента текучести рассматриваемого метала. Если возникающие напряжения выше допустимых, следует увеличить область контакта, или упрочнить заданную область путем нанесения слоя другого метала.
	Вид конструкционной стали	Марка стали	Временное сопротивление разрыву, Н/мм²	Предел текучести, Н/мм²
	Углеродистая обыкновенного качества, ГОСТ 380-88	Ст1пс	320-420	190-220
		Ст3сп	380-490
		S355	510	355
	Низкоуглеродистая качественная, ГОСТ 1050-88, ГОСТ 1051-73	10	410
		15	440
		25	540	375
	Автоматная, ГОСТ 1414-75	А11	490	309
		АС14	490	390
	Среднеуглеродистая улучшаемая, ГОСТ 1050-88	30	600	400
		50	830	520
		60	1000	580
	Легированная улучшаемая, ГОСТ 4543-71	40Х	655	490
		30ХГСА	1220	1140

Сталь - Н8К18М14 Предел текучести 0,34*10¹⁰, Н/м²