Деякі математичні формули. Логарифмічна функція та її властивості.

a^b = c => log _a c = b

Основна логарифмічна тотожність:

a^{log a N} = N

Властивості логарифмічної функції: log a (N1N2) = log a N1 + log a N2 log a (N1 / N2) = log a N1 - log a N2 log a (N^m) = m ^.log a N log a = log a N / k log a b = log a c => b = c	Логарифмічні тотожності: log a b = 1 / log b a log a b ^. log b a = 1 log a N = log ak N^k log an N = log a N / n log a 1 = 0 log a a = 1
Формула, яка використовується для здійснення переходу від однієї основи логарифму до іншої: log a N = log b N / log b a log 10 N = lg N log e N = ln N

Таблиця диференціалів.

d(C)x = 0, C-const d(kx+b)x = k dx d(x^r)x = r x^r-1dx d(e^x)x = e^x dx d(a^x)x = a^xlna dx d(lnx)x = d(logx)x = d(sin x)x = cos x dx d(cosx )x = – sinx dx

d(tgx)x = d(ctgx)x = – d(arcsinx)x = d(arccosx )x = – d(arctgx)x = d(arcctgx)x = –

Основні формули диференціювання.

d(u±υ) = du ± dυ

d(Cu) = Cdu

d(uυ) = du υ + u dυ

d(u/υ) = (du υ – u dυ)/υ²

Формула, за якою здійснюють диференціювання складної функції.

df(h(g(x)))_x = df(h(g(x)))_h(g(x)) dh(g(x))_g(x) dg(x)_x dx

Додаток №3

Приклади розрахунку

відносної та абсолютної похибок непрямих вимірювань

Приклад №1.

I. Робоча формула, яка використовується для розрахунку прискорення сили тяжіння земного за періодом коливань математичного маятника, має такий вигляд:

. (1)

ІІ. Результати прямих експериментальних вимірювань та табличні значення величин, виражені у одиницях СГС є такими.

Нехай - довжина маятника, яка виміряна з абсолютною похибкою . Період коливань маятника , а . Якщо при підрахунках взяти число , то . Розрахунок прискорення сили земного тяжіння за формулою (1) і за даними, одержаними з таблиць та шляхом проведення прямих вимірювань, дав таке його значення:

(2)

ІII. Алгоритм знаходження відносної та абсолютної похибки для робочої формули (1):

(3)

Для того, щоб одержати робочу формулу, за якою можна розраховувати абсолютне значення відносної похибки визначення прискорення сили земного тяжіння , діємо згідно з вказівками викладеними у п. 3 Вступного заняття. Замінимо у чисельниках виразів, які входять у формулу (3) повного диференціала логарифму , символи диференціалу на символи абсолютної похибки і знак «-« , що стоїть перед третім доданком на знак «+». Таким чином, остаточна формула для визначення абсолютного значення відносної похибки прискорення сили земного тяжіння має такий вигляд:

. (4)

Для проведення розрахунку за формулою (4) у неї треба підставити числові значення всіх величин, що входять до цього виразу, а також абсолютні значення їх абсолютних похибок . Таким чином

(5)

Визначаємо абсолютну похибку визначення прискорення сили земного тяжіння.

(6)

Записуємо остаточний результат визначення прискорення сили земного тяжіння за даними непрямих вимірювань у такому вигляді: .

Приклад№2.

І. Робоча формула, яка служить для визначення в’язкості рідини має такий вигляд:

, де

ІІ. Результати прямих експериментальних вимірювань та табличні значення величин, виражені у одиницях СГС:

ρ = 11,3 г/см³ ∆ρ = 0,05 г/см³ (половина відомого порядку),

ρ₀ = 1,26 г/см³ ∆ρ₀ = 0,005 г/см³ ( – / – / – / – / – / – /– / – / – /–),

g = 9,8 м/с² ∆g = 0,02 м/с² (знаючи, що g = 9,81 м/с²),

d = 0,196 см ∆d = 0,0005 см (половина ціни поділки мікрометра),

D = 5,6 см ∆D = 0,05 см (половина ціни поділки лінійки),

l = 14,1 см ∆l = 0,05 см ( – / – / – / – / – / – /– / – / –/ – /– ),

t = 3,2 c ∆t = 0,2 c (ціна поділки механічного секундоміра).

ІІІ. Алгоритм розрахунку відносної похибки для .

1. Логарифмуємо вираз за натуральним логарифмом:

.

2. Диференціюємо отриманий вираз:

.

3. Замінюємо символ „d” на символ „∆” в чисельниках дробів та знак „–” на знак „+” між доданками:

.(1)

4. Підставляємо у формулу (1) чисельні значення:

.

ІV. Знаходження відносної та абсолютної похибок для робочої формули:

1.

.

2.

.

3.

4. Враховуючи знайдене значення , знайдемо відносну похибку:

.

V. Обчислимо чисельне значення η_і та абсолютну похибку:

, пуаз,

пуаз.

VI. Остаточно запишемо результат у такому вигляді:

пуаз; .

Додаток №4