- •Элементы комбинаторики.
- •Классическая вероятностная модель.
- •Действия над случайными событиями. Теоремы сложения и умножения.
- •Формула полной вероятности. Теорема Байеса.
- •Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли и предельные теоремы.
- •Дискретные случайные величины.
- •Двумерные случайные величины.
- •Непрерывные случайные величины.
- •Нормально распределенные случайные величины.
- •Раздел 1.
- •Раздел 2
- •Раздел 3
- •Раздел 4
- •Раздел 5
- •Раздел 6
- •Раздел 7
- •Раздел 8
- •Раздел 9
Двумерные случайные величины.
7.1. Независимые дискретные случайные величины Х и Y принимают только целые значения: Х от -5 до 6 с вероятностью 1/12; Y от -5 до 10 с вероятностью 1/16. Найдите вероятность Р(ХY=0), Р(Х+Y=0).
7.2. Независимые дискретные случайные величины Х и Y принимают два значения 1 и 2. При этом Р(Х=1)=0,7; Р(Y=1)=0,2. Найдите .
7.3. Дано двумерное распределение дискретных случайных величин (Х, Y). Найдите одномерные законы распределения Х и Y, условное математическое ожидание М(Х/Y= 3), М(Y/Х=3). Найдите ковариацию cov(X,Y) и коэффициент корреляции r(X,Y).
Х\Y |
1 |
3 |
4 |
1 |
0,06 |
0,18 |
0,24 |
3 |
0,12 |
0,13 |
0,27 |
7.4. Дано двумерное распределение дискретных случайных величин (Х, Y). Найдите одномерные законы распределения Х и Y, условное математическое ожидание М(Х/Y= 5), М(Y/Х=5). Найдите ковариацию cov(X,Y) и коэффициент корреляции r(X,Y).
Х\Y |
2 |
3 |
5 |
4 |
0,06 |
0,18 |
0,27 |
5 |
0,12 |
0,13 |
0,24 |
7.5. Дано двумерное распределение дискретных случайных величин (Х, Y). Найдите одномерные законы распределения Х и Y, условное математическое ожидание М(Y/Х=1), М(Х/Y=5). Найдите ковариацию cov(X,Y) и коэффициент корреляции r(X,Y).
Х\Y |
2 |
4 |
5 |
1 |
0,12 |
0,13 |
0,24 |
3 |
0,18 |
0,06 |
0,27 |
7.6. Бросают две игральные кости. Х- число очков на первой кости, Y- минимальное число очков, выпавших на двух костях. Составьте совместный закон распределения Х и Y.
7.7. Дано двумерное распределение дискретных случайных величин (Х, Y). Найдите закон распределения случайной величины (Х + Y). Найдите ковариацию cov(XУ;Х+Y) и коэффициент корреляции r(XУ;Х+Y). Являются ли независимыми случайные величины Х и Y.
Х\Y |
-1 |
0 |
1 |
-1 |
0,14 |
0,15 |
0,21 |
1 |
0,16 |
0,20 |
0,14 |
7.8. Дано двумерное распределение дискретных случайных величин (Х, Y). Найдите закон распределения случайной величины (Х - Y). Найдите ковариацию cov(X+Y;Х-Y) и коэффициент корреляции r(X+У;Х-Y). Являются ли независимыми случайные величины Х и Y.
Х\Y |
0 |
1 |
2 |
0 |
0,14 |
0,12 |
0,3 |
1 |
0,13 |
0,20 |
0,11 |
7.9. Дано двумерное распределение дискретных случайных величин (Х, Y). Найдите закон распределения случайной величины (ХY). Найдите ковариацию cov(3X+2; 2Y-3) и коэффициент корреляции r(3X+2; 2Y-3). Являются ли независимыми случайные величины Х и Y.
Х\У |
1 |
2 |
3 |
2 |
0,21 |
0,07 |
0,23 |
3 |
0,11 |
0,20 |
0,18 |
7.10. Дано двумерное распределение дискретных случайных величин (Х, Y). Найдите одномерные законы распределения Х и Y, условные законы распределения случайной величины Х при условии Y=4 и случайной величины Y при условии Х=4.
Найдите вероятность Р(Х>Y).
Х\Y |
3 |
4 |
7 |
4 |
0,15 |
0,23 |
0,15 |
8 |
0,21 |
0,09 |
0,17 |
7.11. Дано двумерное распределение дискретных случайных величин (Х, Y).
Х\Y |
-1 |
1 |
-1 |
0,3 |
0,2 |
1 |
0,1 |
0,4 |
Найдите коэффициент корреляции.
7.12. Известно, что D(X)=1, D(Y)=4, а коэффициент корреляции r(X;Y)=0,8. Найдите дисперсию случайной величины Z=5Х+3Y.
7.13. По мишени производится один выстрел. Вероятность попадания р=0,6. Случайные величины Х- число попаданий; Y- число промахов. Найдите двумерное распределение случайных величин Х и Y. Найдите коэффициент корреляции r(X;Y).
7.14. Два стрелка производят по одному выстрелу каждый по своей мишени. Вероятности попадания в мишень для них равны соответственно: 0,7 и 0,4. Случайные величины Х- число попаданий первого стрелка; Y- число попаданий второго стрелка. Найдите двумерное распределение случайных величин Х и Y.
7.15. Два стрелка производят по одному выстрелу каждый по своей мишени. Вероятности попадания в мишень для них равны соответственно: 0,3 и 0,9. Случайные величины Х- число попаданий первого стрелка; Y- число промахов второго стрелка. Найдите двумерное распределение случайных величин Х и Y.
7.16. Два стрелка производят по два выстрела каждый по своей мишени. Вероятности попадания в мишень для них равны соответственно: 0,7 и 0,4. Случайные величины Х- число попаданий первого стрелка; Y- число попаданий второго стрелка. Найдите двумерное распределение случайных величин Х и Y. Найдите вероятность Р(Х>Y).
7.17. Два стрелка производят по два выстрела каждый по своей мишени. Вероятности попадания в мишень для них равны соответственно: 0,6 и 0,8. Случайные величины Х- число промахов первого стрелка; Y- число попаданий второго стрелка. Найдите двумерное распределение случайных величин Х и Y. Найдите вероятность Р(Х>Y).
7.18. В коробке 10 шаров: 3 белых и 7 красных. Случайным образом достают два шара. Случайные величины Х- количество белых шаров, извлеченных из коробки, Y- количество красных шаров. Найдите совместный закон распределения случайных величин (Х, Y). Найдите ковариацию cov(X;Y) и коэффициент корреляции r(X;Y).
7.19. В ящике пять шаров: два шара с цифрой 1, два шара с цифрой 2, один шар с цифрой 3. Случайным образом один за другим достают два шара, не возвращая их обратно. Случайные величины Х- номер на первом шаре, Y- номер на втором шаре. Найдите совместный закон распределения случайных величин (Х, Y). Найдите ковариацию cov(X;Y) и коэффициент корреляции r(X;Y).
7.20. В ящике пять шаров: два шара с цифрой 1, два шара с цифрой 2, один шар с цифрой 3. Случайным образом один за другим достают два шара, возвращая их обратно. Случайные величины Х- номер на первом шаре, Y- номер на втором шаре. Найдите совместный закон распределения случайных величин (Х, Y). Найдите ковариацию cov(X;Y) и коэффициент корреляции r(X;Y).
7.21. В ящике пять шаров: три белых и два красных. Случайным образом достают один шар. Случайные величины Х- количество извлеченных белых шаров, Y - количество красных шаров. Найдите совместный закон распределения случайных величин (Х, Y).
7.22. Дано двумерное распределение дискретных случайных величин (Х, Y).
Х\Y |
-1 |
1 |
3 |
-1 |
0,05 |
0,2 |
0,01 |
1 |
0,1 |
0,4 |
0,02 |
2 |
0,15 |
0,05 |
0,02 |
Найдите Р(Х=1/Y=1), Р(Y=-1/Х=1). Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=min{X,Y}.
7.23. Дано двумерное распределение дискретных случайных величин (Х, Y).
Х\Y |
-1 |
1 |
3 |
-1 |
0,05 |
0,2 |
0,01 |
1 |
0,1 |
0,4 |
0,02 |
2 |
0,15 |
0,05 |
0,02 |
Найдите Р(Х=-1/Y >-1), Р(Y=-1/Х < 2). Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=mах{X,Y}.
7.24. Случайные величины Х и Y таковы, что имеют равные дисперсии. Найдите r(U;V), где U=X+Y, V=X-Y.
7.25. Х- случайная величина. Дано М(Х)=1, . Найдите cov(X;X).