Глава 10

ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ МИКРОЧАСТИЦ

10.1. Волновые свойства микрочастиц

Опыт показывает, что классический способ описания движения имеет ограничение не только по скоростям, но и по массам и размерам тел. Объектами, к которым неприменимы классические представления, являются, например, атомы, молекулы, ядра атомов, электроны, протоны, нейтроны и др. Такие объекты называют микрочастицами или микрообъектами.

Основная трудность в описании поведения микрочастиц с помощью понятий классической механики связана с так называемым корпускулярно-волновым дуализмом (действительностью), согласно по которому всякая микрочастица одновременно обладает свойствами собственно частицы и свойствами волны. Математическим выражением корпускулярно-волнового дуализма являются формулы де Бройля, связывающие импульс p микрочастицы с длиной волны

, (9.1)

где – так называемая квантовая постоянная, – постоянная Планка.

По де Бройлю, любой движущейся микрочастице ставится в соответствие волна (называемая волной де Бройля), длинна которой выражается через массу частицы m и скорость v, т.е. через ее импульс р = mv, соотношением (9.1).

Двигаясь по траектории, частица в каждый момент времени находится в одном определённом месте и отсутствует в других местах. Волна же, наоборот, находится одновременно во многих местах пространства. Опыт показывает, что этим свойствам обладают и микрочастицы, потому микрочастице, вообще говоря, нельзя приписать никакой траектории.

Согласно классическим представлениям движущаяся частица в каждой момент времени обладает определёнными значениями координат х, у, z и определенными значениями проекций импульса p_x, p_y, p_z. Первые определяют положение частицы в данный момент времени t, а вторые – её положение в следующий бесконечно близкий момент времени t + dt:

x + dx = x + (p_x / m)dt

и т. д. Это проявляется в классической механике в наличии у микрочастицы определенной траектории.

Отсутствие у микрочастиц траекторий свидетельствует о том, что микрочастицы не имеют в каждый момент времени определённых значений координат и определенных значений соответствующих проекций импульса.

Для микрочастицы всегда имеется неопределенность в координатах и соответствующих проекциях импульса. Гейзенберг установил, что имеет место соотношение неопределенностей

Здесь – неопределенность x-координаты микрочастицы, – неопределенность ее x-проекции импульса. Аналогичные соотношения имеют место и для y и p_y, z и p_z. Указанные неопределенности можно трактовать как ширины интервалов, в которых заключены значения координат и проекций импульса микрочастицы. Кроме соотношений неопределенностей координата-импульс, имеет место также и соотношение неопределенностей энергия-время:

Соотношения неопределенностей накладывают естественный предел на точность определения динамических характеристик микрочастицы. Из этих соотношений следует, что чем точнее определена одна из таких характеристик (чем меньше ее неопределенность), тем менее точно определена другая, сопряженная ей характеристика (тем больше ее неопределенность). Это означает, что классические понятия координаты и импульса применимо к микрочастицам лишь в пределах, установленных соотношениями неопределенностей Гейзенберга.

Соотношения неопределенностей никак не связаны с несовершенством измерительных приборов или обычной погрешностью измерений. Они выражают объективный закон природы и являются следствием корпускулярно-волнового дуализма. Действительно, соотношения неопределенностей Гейзенберга получаются из соотношений неопределенностей для волн если в них подставить вместо волнового числа k_x его значение по формуле де Бройля (9.1), предварительно записав ее в виде

Корпускулярно-волновой дуализм и вытекающие из него следствия есть общее свойство материи. Он справедлив не только для микрочастиц, но и для макроскопических тел. Однако для макроскопических тел корпускулярно-волновой дуализм почти не проявляется. Это видно, например, из формулы (9.1). Даже если взять тело достаточно малой массы, например 1 мг, движущееся с малой скоростью 1мм/с, то дебройлевская длина волны будет , что несопоставимо меньше не только размеров области движения тела, но и его собственных размеров. Поэтому для макроскопических тел вполне можно говорить о наличии траектории движения, а его волновые свойства совершенно не проявляются. В то же время, если взять электрон (масса 9,1⋅10^–31 кг), движущийся внутри атома со скоростью v 10⁶ м / с, то его длинна волны де Бройля м, т.е. сравнима с размерами области движения электрона. Ясно, что для электрона, движущегося в атоме, волновые свойства приравниваются резко, и не о какой траектории движения говорить нельзя. Понятие траектории может иметь смысли и для электрона, если область движения его будет не такой малой, как в атоме, а достаточно большей, когда ее размеры будут много больше дебройлевской длины волны электрона. Это имеет место, например, при движении электрона в электронно-лучевой трубке.

На основе приведенных примеров можно сформулировать критерий, при выполнении которого достаточную точность дают классические представления, а движение микрочастицы можно рассматривать как движение классического объекта. Этот критерий можно записать в виде

где – характерный размер области движения микрочастицы, а – ее дебройлевская длина волны. Смысл этого критерия заключается в том, что при длинах волн де Бройля, много меньших размеров области, в которой движется микрообъект, его квантово-механические особенности оказываются несущественными.

В общем случае квантовыми представлениями можно пренебречь, если считать, что квантовая постоянная В этом предположении соотношения неопределенностей, например, принимают вид Откуда т.е. имеем одновременно и точное значение координаты, и точное значение проекции импульса.