§ 3. Повторные независимые испытания

1. Формула Бернулли

Схема повторных испытаний служит базовой моделью для решения большого числа практических задач и формально выглядит так: производится серия n независимых однотипных испытаний, в каждом из которых интересующее нас событие A может появиться с одной и той же вероятностью p. Требуется определить вероятность того, что в n испытаниях событие A появится ровно m раз. Задача решается с помощью формулы Бернулли:

, (3.1)

где q = 1  p  вероятность появления противоположного события

Вероятность того, что событие А появится в n испытаниях не менее m раз, вычисляется по формуле

(3.1а)

или по формуле

(3.1б)

Вероятность появления события А хотя бы один раз в n испытаниях равна

(3.2)

Cовокупность событий, состоящих в появлении события А от 0 до n раз в n испытаниях, составляет полную группу событий. Для вычисления вероятностей P_n(m) можно использовать так называемую производящую функцию _n(x):

Коэффициент при x^m разложения этого бинома равен вероятности P_n(m).

В том случае, когда вероятности появлений события A в каждом испытании неодинаковы и равны p_i (i = 1,2,..., n), производящая функция имеет вид

_n(x) = ( q₁+ p₁ x ) ( q₂+ p₂ x ) ... ( q_n+ p_n x ). (3.4)

3.1. Производится 5 независимых выстрелов по цели, вероятность попадания в которую при каждом выстреле равна 0,2. Для разрушения цели достаточно трех попаданий. Найти вероятность того, что цель будет разрушена.

 Пусть  событие, состоящее в m попаданиях в цель, а событие В означает разрушение цели после пяти выстрелов. Очевидно, что . Так как события попарно несовместны, то по теореме сложения

Вероятности найдем по формуле Бернулли (3.1):

тогда согласно (3.1а)

где

Вычисляя, получим:



2. Случайное событие А может появиться в каждом испытании с вероятностью p. Сколько испытаний следует произвести, чтобы с вероятностью, не меньшей Р, событие А произошло хотя бы один раз?

 Пусть n – наименьшее количество необходимых испытаний, при которых событие А произойдет хотя бы один раз. Согласно (3.2)

где и по условию или

Логарифмируя, получим: а так как то



Число m_o появлений события А, вероятность которого в данной серии n испытаний максимальна, называется наивероятнейшим числом наступлений события А и определяется из неравенств

(3.5)

3. Прибор состоит из 10 узлов. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени T) для каждого узла равна 0,6. Узлы выходят из строя независимо один от другого. Найти вероятность того, что за время T откажут три узла.

4. Вероятность того, что в течение времени Т курс валюты изменится, оценивается как 0,75. Найти вероятность того, что за время 6Т курс валюты изменится не менее четырех раз.

5. Для определенной группы юридических лиц вероятность своевременного погашения кредита в среднем равна 0,8. Определить вероятность того, что из 10 случайно выбранных лиц по крайней мере 7 погасят кредит своевременно.

6. Процентная ставка потребительского кредита может измениться в течение месяца с вероятностью 0,25. Найти вероятность того, что за год ставка изменится 3 раза.

7. В семье пять детей. Найти вероятность того, что двое родились в понедельник.

8. Какова вероятность, что из 8 ваших родственников трое родились в мае?

9. Отрезок AB разделен точкой C в отношении 3:2. На отрезок наудачу брошены 5 точек. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки C.

10. На отрезок AB длины x брошены наудачу пять точек. Найти вероятность того, что две точки будут находиться от точки A на расстоянии, меньшем y (y < x). Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка.

11. В классе 30 учеников: 20 мальчиков и 10 девочек. На каждый из шести вопросов, заданных учителем, ответили по одному ученику. Какова вероятность того, что среди ответивших было 4 мальчика и две девочки?

12. Вероятность изготовления детали отличного качества равна 0,9. Найти вероятность того, что среди 10 деталей не менее 8 отличного качества.

13. Из партии изделий товаровед выбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу выбранное изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий хотя бы два высшего сорта.

14. Вероятность выигрыша волейбольной команды в каждой партии равна 0,75. Найти вероятность того, что команда победила в состязаниях, если для этого необходимо выиграть хотя бы три партии из пяти.

15. В некоторой лотерее вероятность выигрыша на один билет равна 0,2. Определить число билетов, которое нужно купить, чтобы вероятность получения хотя бы одного выигрыша была не меньше, чем 0,8.

16. Производится 5 независимых выстрелов по цели, вероятность попадания в которую равна 0,4. Для разрушения цели достаточно трех попаданий. Найти: а) наивероятнейшее число попаданий; б) вероятность того, что цель будет разрушена.

17. Вероятность попадания в цель при сбрасывании одной бомбы равна 0,1. Найти: а) вероятность того, что цель не будет поражена, б) наивероятнейшее число попаданий, если бомбометание по цели осуществляют 3 самолета и каждый из них сбрасывает 4 бомбы.