2 Теорія та приклади типових задач

2.1 Побудова діагностичної моделі у вигляді діаграми проходження сигналу і визначення функції передачі

Діаграма проходження сигналу (ДПС) є схемою, яка складається з вузлів, з’єднаних напрямними вітками, і яка відображає систему алгебраїчних рівнянь, що описують процеси, які відбуваються в об’єкті.

Вузли діаграми відображають змінні, а вітки – оператори, які характеризують коефіцієнти при змінних. Вузли бувають трьох типів: джерела, прості каскадні вузли та стоки [1, 2]. Джерела – це такі вузли, які мають тільки вихідні вітки; стоки тільки вхідні. Джерела відповідають незалежним змінним, а стоки залежним. Прості каскадні вузли мають як вхідні, так і вихідні вітки. Кожній вітці відповідає свій параметр , напрямок вітки показують стрілкою. Кожному вузлу відповідає своя змінна , тобто при цьому кожний сигнал дорівнює добутку оператора вхідної вітки на сигнал вузла, з якого вітка виходить. Наприклад, ДПС показано на рисунку 2.1. Для графу (рисунок 2.1) ; .

Рисунок 2.1 - Діаграма проходження сигналу

Граф може утворювати контур. Контур сигнального графу – це замкнений шлях, який проходить по однаково напрямлених вітках графу, причому всі вузли, крім початкового, зустрічаються тільки один раз. Початковий вузол зустрічається на шляху двічі, оскільки він є кінцевим. Петля – є окремим випадком контура графу (рисунок 2.1). Величина контура – добуток передач віток графу, які входять в даний контур. Шлях сигнального графу – сукупність односпрямованих віток між двома заданими вузлами графу. На шляху всі вітки та вузли графу зустрічаються тільки один раз. Величина шляху графу – добуток передач віток графу, які входять в даний граф. Для визначення функції передачі між вибраними входом та виходом ДПС необхідно знати основні правила перетворення.

Розглянемо основні правила перетворення сигнальних графів.

1. Об’єднання паралельних односпрямованих віток в одну.

; .

2. Об’єднання послідовних односпрямованих віток графу в одну

; ; .

3. Вилучення вузла графу

; .

; ; .

4. Розтягування вузла

5. Передача від’єднаної петлі завжди дорівнює одиниці

, тому

6. Утворення петлі з двох паралельних різноспрямованих віток графу

; ; .

7. Вилучення петлі у складному графі

; .

8. Інверсія вітки та шляху

; ; ; .

Отже для інверсії вітки, наприклад, змінюють напрямок вітки на протилежний, передача вітки береться як обернена , а вітка, що є в кінці шляху і направлена до нього (кінця шляху), переноситься на початок, а її передача визначається як .

9. Об’єднання декількох джерел в одне

10. Розщеплення вузла

Операція розщеплення є дійсною відносно змішаних вузлів і є операцією поділу вузла на дві частини, одна з яких має тільки вхідні вітки, а друга – вихідні. Оскільки величина змінної у вузлі визначається тільки вхідними вітками, то така операція для вузла допустима.

Розглянемо приклади розв’язання сигнальних графів за допомогою перетворень (рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 - Перетворення сигнального графу

Перевага використання сигнальних графів для визначення функції передачі (transfer function) ще більше очевидна, коли граф будується безпосередньо за схемою без складання та перетворення рівнянь. Алгоритм побудови покажемо на прикладі заступної схеми, зображеної на рисунку 2.3. Задамо напрямок контурних струмів в схемі та визначимо кількість вузлів майбутнього графу. Кількість вузлів визначається кількістю контурних струмів та джерел електричної енергії в заступній схемі , тому граф буде мати 6 вузлів. Для більшої зручності замінимо схему рисунка 2.3 а на схему рисунка 2.3 б, щоб кожному джерелу струму відповідав паралельно ввімкнутий опір.

а)	б)
Рисунок 2.3 – Заступна схема

На полі графу (рисунок 2.4) довільно розташуємо вузли, які відповідають змінним, що досліджуються, та джерелам схеми. Вузли змінних з’єднують двома паралельними протилежно спрямованими вітками, причому, якщо вітка спрямована від вузла до вузла , то передача цієї вітки визначається як , де це сума опорів, які діють в контурі, а це загальний опір між та контурами.

Джерела ЕРС схеми з’єднують з вузлами – змінними . Напрямок передачі завжди від джерела до відповідного вузла змінної, тобто до того струму в контурі, в якому знаходиться ЕРС (рисунок 2.4). Передача вітки з контуром. Знак “ + ” береться, якщо струм контура збігається за напрямком з ЕРС, що діє в контурі, в протилежному випадку беруть знак “ - ”.

Джерело струму схеми з’єднується з тими вузлами – змінними, в контурі яких знаходиться опір, ввімкнений паралельно джерелу струму. Передачі цих віток визначаються як , де опір, ввімкнений паралельно джерелу струму в контурі. Знак “ + ” приймається тоді, коли напрямок струму в контурі збігається з напрямком джерела живлення в опорі . Якщо не збігаються, беруть знак “ - ”.

Рисунок 2.4 - Побудова сигнального графу за електричною схемою

Приклад. Заступна схема елемента системи діагностування зображена на рисунку 2.5.

Задано параметри схеми: Гн, мкФ, кОм, кОм, кОм, f = 50 Гц. Визначити функцію передачі за напругою між заданим входом і виходом, користуючись діаграмою проходження сигналу.

Рисунок 2.5 – Заступна схема елемента об’єкта діагностування

Розв’язання. Для побудови сигнального графу задамо напрямок контурних струмів і визначимо кількість вузлів майбутнього графу. Попередньо спростимо схему. Замінимо дві паралельні вітки однією, тобто .

Їх буде чотири. Дві з них , відображають незалежні змінні, а контурні струми , - залежні.

На полі графу (рисунок 2.6) довільно розташуємо вузли, які відповідають змінним , , , , . З’єднання окремих вузлів та передачі віток визначені у відповідності з вище- приведеними правилами, де

; ;

Правила побудови можна перевірити, якщо скласти рівняння для контурів: ; ; і визначити залежні змінні.

Рисунок 2.6 – Побудова сигнального графу за електричною схемою

Виконаємо перетворення сигнального графу для визначення функції передачі між входом і виходом схеми рисунка 2.5.

1. Вилучення вузла і₁(t).

2. Вилучимо петлю

Після підстановки величин опорів отримаємо передачу між виходом і входом схеми за напругою: