Лабораторная работа № 4.

Получение математической модели объекта по данным полного и дробного факторного эксперимента.

Цель работы: ознакомление с основами факторного эксперимента.

Задание:

1. Ознакомится с теорией факторного эксперимента.

2. Получить математическое описание зависимости выходного напряжения U₂ трансформатора от входного напряжения U₁ и сопротивления нагрузки R по результатам полного факторного эксперимента, проведенного на лабораторной установке «Однофазный трансформатор».

3. Произвести статистический анализ полученной линейной модели. Сделать выводы об изучаемом явлении по модели.

4. Получить математическое описание исследуемой зависимости U₂=f(U₁,R) по результатам планируемого расчета схемы замещения трансформатора. Применить схему ДФЭ

Основные понятия теории факторного эксперимента.

Математическая теория планирования эксперимента предлагает различные методы получения математического описание процесса в изученной системе [1,2]. Основой этих методов является возможность представления исследуемой (целевой) функции системы, зависящей от п независимых переменных параметров (факторов) системы x₁,…x_i….x_n рядом Тейлора (1)

Ряд Тейлора, имеющий постоянные коэффициенты α_о, α_i, α_ik, α_ii, описывает исследуемую функцию в области базисной (исходной) точки x_i* (i = 1,2,…n). Эта область ограничена предельными приращениями (шагами) переменных ± Δx_i, которым соответствуют безразмерные нумерованные переменные равные ± 1. Нормированные переменные определяются по формуле (2)

(2)

В формуле (2) х_i – текущее значение фактора

Условие непрерывности функции , разлагаемой в ряд Тейлора, выполняется для большинства функций, встречающихся на практике.

Определение коэффициентов ряда Тейлора по опытным данным у планируемого эксперимента (таблица 1) и определение числа членов ряда, достаточного для описания системы с заданной точностью, представляет задачу, решаемую статистическим методом факторного эксперимента.

Исследуемая функция у в процессе эксперимента испытывает влияние не только переменных факторов , но и влияние помехи (рис. 1), обозначенной через е:

Рис. 1

Полагают, что помеха е является случайной величиной, имеющей нормальный закон распределения с параметрами m{e}=0, σ²{e}=σ²{y}. В силу влияния помехи по экспериментальным данным у получают не истинное значение коэффициентов, а их статистические оценки. При этом математическая модель системы имеет вид

(3)

где у_р – статистическая оценка предсказываемого значения функции у;

а₀, а_i, а_ik, а_ii – статистическая оценка коэффициентов α₀, α_i, α_ik, α_ii.

Для получения более точной математической модели системы эксперимент должен быть поставлен так, чтобы коэффициенты уравнения (3) являлись наилучшими оценками коэффициентов ряда Тейлора.

Наилучшие оценки коэффициентов ряда Тейлора дает метод наименьших квадратов [3], который, однако, не отвечает на вопрос об оптимальном объеме эксперимента. Теория планирования эксперимента, основанная на методе наименьших квадратов и применяющая методы дисперсионного анализа [4], предлагает такие программы (планы) факторных экспериментов, реализация которых дает наилучшие оценки коэффициентов ряда Тейлора при минимальном числе опытов.

Факторный эксперимент проводят на два этапа. На первом этап выдвигают гипотезу о виде уравнения (линейное, квадратичное, кубичное и д.т.), описывающем систему с определенной точностью. В соответствии с выдвинутой гипотезой о виде математической модели выбирают план эксперимента. По результатам эксперимента получают коэффициенты модели. Так как естественно желание получить наиболее простую модель, то сначала выдвигают гипотезу о линейной модели (4).

(4)

На втором этапе проводят статистический анализ значений коэффициентов a₀, a₁,…a_n с целью определения значимости влияния варьируемых факторов на функцию у. Затем приводят гипотезу об адекватности описания функции у принятым уравнением. В случае не состоятельности гипотезы о линейной аппроксимации функции выдвигают новую гипотезу о более сложной форме зависимости, например, квадратичной:

Для определения коэффициентов данного полинома реализуют факторный план второго порядка. Особенности планирования второго порядка излагаются в [1].

Получение математического описания процесса системы по данным эксперимента. Постановка «задачи регрессии»

Получение зависимости функции у от факторов системы в виде уравнения (регрессии) по результатам эксперимента представляет задачу, известную в математике как «задача регрессии» [5,6].

Сложность решения этой задачи состоит в том, что результаты измерений величины у обладают неустойчивостью, обусловленной влиянием помехи и мало изученных факторов. Разброс значений у создает неопределенность при отыскании коэффициентов модели.

При выдвинутой гипотезе о линейной зависимости функции у от п факторов системы (4)

«задача регрессии» состоит в отыскании п + 1 неизвестных коэффициентов а₀, а₁,…а_i,… а_n по данным N измерений величины у. Это требует совместного решения системы N уравнений (5): (5)

где х_ij – значение i – фактора в j – опыте, x_0j=1,

у_j- результат измерения у в j – опыте.

Значения факторов и результаты измерений функции у даются в плане эксперимента (таблица 1).

ТАБЛИЦА 1

Номер опыта	Фактор							Исследуемая функция у
	X1	X2	…	Xi	…	Xn
1	X11	X21	-	Xi1	-	Xn1		y1
-	-	-	-	-	-	-		-
J	X1j	X2j	-	Xij	-	Xnj		уj
-	-	-	-	-	-	-		-
N	X1N	X2N	-	XiN	-	XnN		yN

При числе опытов N, превосходящих число искомых коэффициентов п + 1, и невозможность рассматривать избыточные уравнения как противоречащие остальным в силу случайного характера измеряемой величины у существует многозначность в определении коэффициентов при решении системы (5).

Разрешение этой трудности дает применение принципа максимума правдоподобия, который может быть сформулирован следующим образом [7]:

наилучшим описанием явления будет то, которое дает наибольшую вероятность получить в результате измерений именно те значения, которые и были фактически получены.

Требование принципа максимума правдоподобии при решении «задачи регрессии» состоит в определении таких значений коэффициентов а₀, а₁,…а_i,… а_n, при которых вероятность получить наблюдаемые величины функции максимальна.

При нормальном законе распределения вероятности функции у рекомендация получения коэффициентов уравнения, следующая из принципа максимума правдоподобия, совпадает с исходным положением метода наименьших квадратов.

В следующем параграфе в рамках решения «задачи регрессии» излагается метод наименьших квадратов.

Применение метода наименьших квадратов для получения коэффициентов математической модели системы «задачи регрессии»

Для получения наилучших оценок коэффициентов математической модели системы в виде уравнения (3) применяется метод наименьших квадратов. Дальнейшее рассмотрение метода наименьших квадратов применительно к «задаче регрессии», а также статистические методы оценки его результатов ведутся в предположении:

1. Нормального закона распределения измеряемой величины у (2) при любой комбинации фиксированных уровней факторов x_i (при номинальном распределении помехи е величина у имеет также нормальное распределение).

2. Пренебрежимо малой ошибки в установке уровней факторов x_i по сравнению с ошибкой измерения величины у.

3. Равноточности измерения величины у во всех N опытах, то есть постоянство величины дисперсии σ²{y}=σ²{e} при любой комбинации уровней факторов x₀, x₁,…x_i,… x_n.

Требование метода наименьших квадратов при определении коэффициентов уравнения (3) по данным эксперимента состоит в минимизации суммы квадратов ошибок ε_j, обусловленных неточностью представления экспериментальных значений y_j уравнением (3), дающим значения y_p

,

где

(6)

Очевидно , что сумма

(7)

Экспериментальное значение S имеет место при выполнении следующих условий:

(8)

Систему уравнений (8) можно переписать в виде системы «нормальных» уравнений (9): (9)

При введении условных обозначений

,

система «нормальных» уравнений запишется сокращенно: ( (10)

Решение системы «нормальных» уравнений упрощается, если ввести матричную форму записи. Тогда система (5) запишется

(11)

Х – матрица факторов порядка

, (12)

А – матрица коэффициентов порядка

, (13) , (14)

Y – матрица , представляющая экспериментальные данные исследуемой функции у (14).

При этом система «нормальных» уравнений (10) примет вид:

, (15)

где Х^Т – транспонированная матрица Х. , (16)

, (17)

При умножении обеих частей системы уравнений (15) на матрицу (Х^ТХ^-1), обратную матрице Х^ТХ, получают формулу искомых коэффициентов:

(18)

При этом используют известное из матричной алгебры соотношение

Если обозначить элементы матрицы (Х^ТХ)^-1 так, как показано в формуле (19)

(19)

и подставить (17) и (19) в формулу (18), то искомые коэффициенты найдутся из выражения (20) . (20)

Из полученной формулы (20) следует, что коэффициенты уравнения равны линейным комбинациям экспериментальных данных функции у, а именно

(21)

При нормальном законе распределения величины у коэффициенты a_i, связанные линейно с функцией у, имеют также закон с нормальными параметрами:

m{a_i}=α_i –матаматическое ожидание коэффициента а_i;

σ²{a_i} – дисперсия коэффициента а_i.

В [6] показано. что коэффициенты (21), полученные методом наименьших квадратов, обладают свойствами наилучших статистических оценок. А именно:

1) коэффициенты а_i являются не смещенными оценками коэффициентов α_i

m{a_i}=α_i;

2) коэффициенты a_i имеют минимальную дисперсию σ²{a_i} среди класса оценок, равных линейным комбинациям экспериментальных данных.

Из формулы (21) следует однако и то, что значения коэффициентов r_i зависит от числа членов уравнения (3), которое гипотетически принимается равным п + 1 перед проведением эксперимента (п – число существенно влияющих факторов на функцию у). При отказе от этой гипотезы необходим пересчет коэффициентов, что связано с дополнительными затратами труда и времени. Перерасчет коэффициентов устанавливается, если реализовать ортогональный план эксперимента [1].

Ортогональный план эксперимента.

План эксперимента называется ортогональным, если ортогональны между собой столбцы плана X₁, X₂,… X_n (табл.1), т.е.

при .

Тогда диагональные матрицы Х^ТХ и (Х^ТХ)^-1

(23)

(24)

При подстановке формулы (24) в формулу (20) получают

(25)

откуда видно, что коэффициент а_i(i=01,…n), равный

, (26)

не зависит от числа членов уравнения (3)

Дисперсия коэффициента σ²{a_i} при этом находится согласно [6] из выражения (27)

где J – матрица из единиц порядка п×п [6].

Из (27) следует, что дисперсия любого коэффициента линейного уравнения (3) равна

(28)

то есть зависит от дисперсии опыта.

Итак, в результате реализации ортогонального плана эксперимента получают коэффициенты уравнения a_i, являющиеся наилучшими оценками истинных значений коэффициентов α_i, при этом полученные значения коэффициентов зависят то числа слагаемых в уравнении.

Полный факторный эксперимент.

В [1,2] показано, что ортогональный план эксперимента является оптимальным в широком смысле при выполнении следующих условий:

1. Симметричное расположение варьируемых уровней факторов относительно центрального (среднего ) уровня , i=1,2,…n

2. Равенство элементов диагональной матрицы

, i=1,2,…n

Реализация оптимального плана позволяет получить значения коэффициентов регрессии с минимальной дисперсией σ²{a_i} при минимальном числе опытов.

Ортогональным планом является двухуровневый полный факторный эксперимент (ПФЭ) с числом опытов N=2^п. Он содержит всевозможные неповторяющиеся комбинации уровней всех переменных факторов. В таблице 2 дана программа ПФЭ 2² с указанием нормированных значений факторов X_{i max}=+1, X_imin=-1, соответствующих максимальному x_imax и минимальному x_imin уровням факторов (рис.2.). ПФЭ 2² дан на рис. 3 в плоскости [x₁, x₂].

Рис. 2

Связь между величинами Х_i и x_i устанавливается формулой

,

Рис. 3.

где х_i – значение фактора в именованных единицах;

х_i* – базисное значение фактора;

Δх_i – шаг изменения значения фактора

Из этой формулы следует, что при х_i= х_i*± Δх_i нормированный уровень равен

X_i=±1.

По данным ПФЭ 2² получают коэффициенты линейного уравнения

(30)

Определяемые по формулам (26, 29):

(31)

Если матрицу X данного плана дополнить столбцом парного взаимодействия X₁ X₂

, (32)

то можно получить формулу коэффициента

В этом случае модель системы представляется неполным квадратичным уравнением

В таблице 3 дан ПФЭ 2³

ТАБЛИЦА 2

j	X1	X2	Y
1	+1	+1	y1
2	-1	+1	y2
3	+1	-1	y3
4	-1	-1	y4

ТАБЛИЦА 3

j	X1	X2	X3	y
1	+1	+1	+1	y1
2	-1	+1	+1	y2
3	+1	-1	+1	y3
4	-1	-1	+1	y4
5	+1	+1	-1	y5
6	-1	+1	-1	y6
7	+1	-1	-1	y7
8	-1	-1	-1	y8

С помощью ПФЭ 2³ получают математическую модель системы в виде уравнения

(34)

Коэффициенты модели определяют по формулам (26, 29):

Для составления планов двухуровневого полного факторного эксперимента не нужен каталог. План для п факторов получают в виде таблицы на п столбцов и N=2ⁿ строк. Частота изменения уровней +1 и –1 в каждом столбце уменьшается в два раза по сравнению с предыдущим столбцом. Несмотря на то, что планы ПФЭ 2^п являются оптимальными, объем их слишком велик при достаточно большом числе факторов

(п = 10). Значительную экономию в числе опытов дают планы типа дробного факторного эксперимента.

Дробный факторный эксперимент

План, составляющий 1/2^т часть объема полного факторного эксперимента 2^п, называется дробным факторным экспериментом 2^п-т. При т=1, 2, 3… объем ДФЭ составляет 1/2, 1/4, 1/8, … часть объема ПЭФ. Примечание ДФЭ возможно в случаях, когда имеется предварительная информация о слабых т зависимостях между факторами. Тогда столбцы взаимосвязей используются для задания изменений уровней других т факторов.

Например, полный двухфакторный эксперимент с числом опытов N=2²=4 (табл. 5) можно применить для трехфазной задачи (n=3), если известно априори, что слаба взаимосвязь X₁ X₂. Программа изменения третьего фактора X₃ задается столбцом X₁ X₂ , т.е.

Х₃ =Х₁ Х₂

При применении ПФЭ в случае трех факторов приводится N=2³=8 опытов. Таким образом, ДФЭ сокращает в этом случае объем эксперимента в 2 раза.

ТАБЛИЦА 5.

Опыт j	X1	X2	X3=X1 X2	y
1	+1	+1	+1	y1
2	-1	+1	-1	y2
3	+1	-1	-1	y3
4	-1	-1	+1	y4

ТАБЛИЦА 6.

Опыт j	X1	X2	X3	X4= X1X2	X5= X1X3	X6= X3X2	y
1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	y1
2	-1	+1	+1	-1	-1	+1	y2
3	+1	-1	+1	-1	+1	-1	y3
4	-1	-1	+1	+1	-1	-1	y4
5	+1	+1	-1	+1	-1	-1	y5
6	-1	+1	-1	-1	+1	-1	y6
7	+1	-1	-1	-1	-1	+1	y7
8	-1	-1	-1	+1	+1	+1	y8

Таблица ПФЭ 2³ применяется для получения линейной модели для семи факторов, если слабы взаимосвязи X₁X₂, X₁X₃X₂X₃, X₁X₂X₃. Столбцы взаимосвязи в этом случае используются как программы изменения факторов

X₄=X₁X₂, X₅ =X₁X₃, X₆ =X₂ X₃, X₇=X₁X₂X₃

Полученный таким образов план для семи факторов является ДФЭ 2^7-4. Объем плана составляет часть ПФЭ 2⁷. Подробно рассматриваются данные планы в методических указаниях [10].

Статистический анализ результатов полного и дробного факторного экспериментов.

Статистический анализ результатов факторного эксперимента состоит

1. В проверке значимости коэффициентов модели.

2. В проверке адекватности уравнения f(X₁, … X_n)

Проверка коэффициента a_i на значимость состоит в проверке гипотезы о равенстве нулю истинного значения коэффициента α_i. Принимая эту гипотезу, находят доверительный интервал для коэффициента α_i, т.е. α_i=0. Принимая эту гипотезу, находят доверительный интервал для коэффициента ε{α_i},внутри которого в силу влияния помехи, находится истинное значение α_i с вероятностью Р. обычно принимают Р = 0,95 – 0,98. Доверительный интервал для коэффициента a_i, имеющего нормальное распределение, равен

, (36)

где σ{a_i} - оценка среднеквадратичного отклонения величины a_i, определяемая по ошибке эксперимента σ²{y}

, (37)

t_T – значение определяемое по таблице t-распределения Стьюдента [5] в зависимости от степени свободы и вероятности Р. Здесь γ – число повторений N опытов в плане эксперимента.

Ошибка эксперимента σ²{y} находится по значениям у в результате повторения всех N опытов плана γ раз (табл. 7). Обычно берут γ=2-4 [1,2]. Тогда

(38)

В формуле (38)

y_iq – значение у в j-м опыте q-й серии (в таблице 7 у_j1 и у_j2)

ˉy_j – среднее значение у в j-м опыте (по данным γ серии опытов).

(39)

При проверке значимости коэффициентов, значение коэффициента a_i сравнивают с его доверительным интервалом ε{a_i}. Если модуль коэффициента |a_i| превышает доверительный интервал ε{a_i}, т.е.

|a_i|> ε{a_i} (40)

ТАБЛИЦА 7

Опыт j	Х1	Х2	Опытные данные двух серий (γ=2)		Среднее значение	Расчетное значение
			yj1	yj2		ypj
1 2 3 4	+1 -1 +1 -1	+1 +1 -1 -1	y11 y21 y31 y41	y12 y22 y23 y24		yp1 yp2 yp3 yp4

то гипотеза о равенстве нулю коэффициента α_i отвергается. Коэффициент a_i признается значимым, и слагаемое a_ix_i остается в уравнении системы в силу существенного влияния фактора x_i на функцию y.

Если выполняется неравенство

|a_i|< ε{a_i} (41)

то это означает, что коэффициент a_i незначим. Слагаемое a_ix_i исключается из уравнения.

После проверки коэффициентов модели на значимость проверяется гипотеза об адекватности представления в области исследования функции y(x₁, … x_n) принятым полиномом.

Проверка этой гипотезы основана на сравнении ошибки от неадекватности уравнения S²_ад{y} с ошибкой эксперимента S²{y}. Для чего находится оценка дисперсии неадекватности

(42)

где п₃ – число значимых коэффициентов уравнения,

у_pj – значение функции у, полученное по уравнению в j-м опыте,

- экспериментальное значение функции у в j-м опыте.

При проверке адекватности уравнения применяется критерий Фишера [5]. Для этого находят величину F, имеющую F распределений Фишера

(43)

Величину F сравнивают с табличным значением F_T, определяемым при степенях свободы ν₁=N-n₃ и ν₂=N-(γ-1) при вероятности Р = 0,95 – 0,98.

В случае

F ≤ F_T

уравнение адекватно, т. е. полученная математическая модель системы достаточно точно отражает связь исследуемой функции y с факторами системы X_i

F >F_T

уравнение неадекватно. Тогда отказываются от выдвинутой гипотезы о моделировании системы полученным уравнением [10].

Порядок выполнения работы.

1. Получить зависимость выходного напряжения U₂ трансформатора от входного напряжения U₁ и сопротивления нагрузки R в виде линейного уравнения

где функция у соответствует U₂, фактором X₁=U; X₂=R.

Граница исследуемой области определяется предельными значениями факторов:

U₁* ± ∆U₁ , R* ±∆R

здесь U₁*, R* - базисные значения факторов (согласовать с преподавателем);

∆U₁, ∆R - шаги изменения значений факторов; принять что ∆U₁ =20% U₁* ∆R=20% R*

2.Составить таблицу 1, где представлен полный факторный эксперимент 2² (столбцы 2,3)

ТАБЛИЦА 1.

Опыт j	Фактор		Исследуемая функция у		Среднее значение	Значение уpj , полученное по уравнению (1)
	Х1	Х2	yj1	yj2
1 2 3 4	+1 -1 +1 -1	+1 +1 -1 -1	y11 y21 y31 y41	y12 y22 y23 y24		yp1 yp2 yp3 yp4

Нормированным уравнениям факторов, равным +1 и – 1, соответствуют следующие значения факторов в именованных единицах

+1= U₁*+∆U₁ ; R*+ ∆R

-1= U₁* - ∆U₁ ; R* - ∆R

3.Проведение эксперимента:

а) в первом опыте установить такие уровни факторов, которые указаны в первой строке плана; и измерить выходное напряжение; результат измерения занести в первую строку четвертого столбца таблицы 1.

б) во втором опыте установить уровни факторов, указанные во второй строке плана, и вновь измерить выходное напряжение, результат записать во второй строке четвертого столбца и так далее.

в) после первой серии измерения провести вторую серию, результаты записать в пятом столбце таблицы 1.

г) найти среднее значение выходного напряжения в каждом опыте (столбец 6 таблицы 1).

4.По полученным опытным данным рассчитать коэффициенты а₀, а₁, а₂ линейного уравнения (1)

(1)

Формулы для коэффициентов таковы: (2)

5.Проверить зависимость коэффициентов a_i. Для этого следует найти оценку дисперсии исследуемой величины S²( ) по результатам повторных опытов:

(3)

Тогда доверительный интервал для коэффициентов a_i равен:

, (4)

где t_T –величина, взятая по таблице t-распределения (распределение Стьюдента) [1] при уровне значимости α=0,05 и степени свободы ν=N(γ-1) .

Если абсолютная величина коэффициента a_i превышает доверительный интервал ε(a_i)

|a_i|> ε{a_i}

то коэффициент a_i значим и слагаемое a_ix_i остается в уравнении.

Если

|a_i|< ε{a_i}

То коэффициент a_i незначим и слагаемое a_ix_i исключается из уавнения.

6. Проверить адекватность уравнения (1). Для этого нужно найти величину S²_ад{y}

(7)

где п₃ – число значимых коэффициентов уравнения,

у_pj – значение функции у, полученное по уравнению в j-м опыте,

- экспериментальное значение функции у в j-м опыте.

После чего найти F-отношение

(8)

Сравнить F-отклонение с табличным значением F_T, полученным по таблице F-распределения (распределение Фишера) при α=0,05 ν₁=N-n₃ и ν₂=N(γ-1)γ

Если F<F_T , то увеличение адекватно и может быть использовано для анализа изучаемой зависимости U₂=f(U₁,R).

7. По полученной математической модели сделать выводы:

а) какова степень влияния факторов U₁ и R на выходное напряжение U₂ ;

б) как следует изменить значения U₁* ,R*, чтобы влияние в области с большим значением U₂

Указание к п. 7 б): перемещение к оптимальной области с U_2max осуществить в направлении градиента функции U₂=f(U₁,R). Для этого использовать полученные коэффициенты a₁ и a₂, являющиеся оценками составляющих градиента функции, а именно:

,

Новые базисные уровни факторов U₁ и R найти в этом случае по формулам:

U₁**=∆U₁* +n∆U₁; (10)

R**= R* +m∆R (10)

Где ∆U₁ и ∆R - шаги изменения факторов;

n и m - числа шагов, которые нужно сделать, чтобы движение точки [U₁*, R*] происходило в направлении градиента функции U₂.

Числа шагов n и m находят так: задают произвольно, например число шагов n (3…5) и получают m из соотношения

(11)

После определения новых уровней факторов U₁**, R** провести ПЭФ 2² с центром в этой точке. Если линейная модель в окрестности точки [U₁**, R**] неадекватна, то реализуют в этой области эксперимент по плану второго порядка для получения модели в виде квадратичного уравнения: (12)

Для этого проводят опыты по схеме центрального или ротатабельного композиционного планирования эксперимента [U₁**, R**]. если линейная модель в области с центром [U₁*, R*] адекватна, то продолжают поиск оптимальной области.

8. Получить математическое описание зависимости из расчета схемы замещения трансформатора по плану дробного факторного эксперимента U₂=f(U₁,R). Переменными величинами считать:

напряжение на входе U₁=U₁*±20%U₁* (фактор х₁)

сопротивление нагрузки R=R*±20%R* (фактор х₂)

суммарное индуктивное сопротивление рассеяния х_рас=х_рас-*±10%х_рас* (фактор х₃=х₁х₂), где х_рас=х_рас1+х'_рас2.

Получить линейное уравнение

(13)

После этого проверить значимость коэффициентов и адекватности уравнения. Получить формулы для коэффициентов a_i, которые смешаны с коэффициентами взаимодействий a₁₃, a₂₄, a₁₂₃.

Если уравнение (9) адекватно, то это означает, что коэффициенты a₁₃, a₂₄, a₁₂₃ несущественны.

Контрольные вопросы.

1. Какова идея наименьших квадратов?

2. Какой план эксперимента является ортогональным и каковы его достоинства?

3. Покажите таблицу полного факторного эксперимента 2³. Какое уравнение получают по данным ПФЭ 2³?

4. Что представляет собой дробный факторный эксперимент? Покажите таблицу ДФЭ , где х₄=х₁х₂.

5. Как осуществляются смешанные оценки коэффициентов?

6. В чем состоит оценка значимости коэффициентов и адекватности матаматической модели?

Литература:

1. Круг Г.К. Статистические методы в инженерных исследованиях: Лабораторный практикум. В.П. Бородюк и др. – М.: В.Ш., 1983.

2. Веников В.А. Теория подобия и моделирования. – М.:В.Ш., 1971.

Артемева Е.М., Круг Н.К. Факторный эксперимент: Учебное посоьие.- И., ИМИ, 1982.