§11. Варіаційні задачі з рухомими межами.
Введемо на множині G = {у(х)| у С(1)(а,b)} функціонал
J[y(x)]= F(x,y,y')dx , a≤ x0 < x1 ≤b.
Задача знаходження екстремуму цього функціонала при умовах
(*) y(хо) = φо(хо), у(х1) = φ1(х1) є варіаційною задачею з рухомими кінцями.
Якщо функція у G реалізує екстремум функціоналу при умовах (*), то
виконуються: а)
рівняння Ейлера
= 0;
b)
умови трансверсальності
Якщо один з кінців
закріплений, то виконується тільки
одна з умов трансверсальності. Якщо
гранична точка (х1,
у(x1))
переміщується лише по вертикальній
прямій, то умова трансверсальності
перетворюється в
=
0.
Отже, для розв'язання найпростішої задачі J[y(x)]= F(x,y,y')dx з
рухомими межами, треба:
1.Написати і розв'язати рівняння Ейлера. Одержимо сім'ю
екстремалей у = f(х,с1;с2).
2
.
З
умов трансверсальності і з рівнянь
визначити сталі с1 , с2, х0, х1.
3 . Визначити потрібну екстремаль.
Приклад. Знайти допустиму екстремаль функціонала
J[y(x)]= (у' - y2 ) dx при умові, що кінці належать лініям у = - х + 1, у =2х.
Розв'язання. Складемо рівняння Ейлера: у" + у = 0. Його розв'язок
у(х) = c1 sinх + с2 соsх ;
у'(х) = c1 соsх - с2 sinх.
Запишемо
умови трансверсальності
с2 = -0,8; c 1= - 1,6.
Відповідь. Рівняння екстремалі: у(х) = - 1,6 sin х - 0,8 соsх.
Задачі. Знайти допустимі екстремалі функціоналів.
1.
J[у(х)]=
при
умовах
у = х2;
у = х-5. В. у = - х +
2. J[у(х)]= (х2у' 2 –ух)dх при умовах у = 2х - 1; у = х2.
В.
у =
3. J[у(х)]= (у + 2ху' +у'2)dх при умовах у = 2х+1; у = -х + 2.
В.у=
+
2,24.
4. Знайти найкоротшу відстань від точки А(1;0) до еліпса 4х2 + 9у2 = 36.
B.d=
5. Знайти найкоротшу відстань від точки А(-1;5) до параболи у2 = х.
В. d=
Вказівка до задач 4 і 5. Задачі зводяться до знаходження екстремуму (мінімуму)
інтеграла J[у(х)]=
при умові,
що лівий кінець задовольняє умові
у(х0)
= уо,
а правий у = f(х).
Приклад. Знайти умову трансверсальності для функціонала
J[у(х)]= f(х,у)еarctgy' , f (x,y)≠0
Розв 'язання. Нехай лівий кінець екстремалі закріплений в точці А(хо,yо), а правий - В(х1, у1) може переміщуватись по кривій у = ψ(х). Тоді
Умова трансверсальності має вигляд, бо f (х ,у) ≠ 0
Геометрично ця умова означає, що екстремалі у = у(х) повинні перетинати криву у = ψ(х), по якій ковзає гранична точка В(х1,у1), під кутом π/4.
Дійсно, тут tgα = у', tgβ = ψ ' , ,то згідно (*)
tg(β-α)
= -1 = tg
(
,
що
і треба було
довести.
Приклад 3. Знайти відстань між параболою у = х2 і прямою х - у = 5.
Розв 'язання. Задача зводиться до знаходження екстремального значення
функціонала J[у(х)] = при умові, що лівий кінець екстремалі
переміщується по кривій у = х2, а правий - по прямій у = х - 5. Тут φ(х) = х2,
ψ(х) = х -5. Загальний розв'язок рівняння Ейлера: у = c1 x + с2, де c1 і с2 — довільні сталі, які треба визначити.
Умови трансверсальності мають вигляд:
,
де
у' = с1.
Для визначення с1
і с2,
x1
,
xо
маємо ще рівняння
Ми одержали систему чотирьох рівнянь відносно невідомих с1, с2, х1, х0:
Отже рівняння
екстремалі має вигляд: у = - х +
і відстань між заданими
параболою і прямою
дорівнює
Задачі.
6. Знайти відстань від точки А(1;0) до еліпса 4х2 + 9у2 = 36.
4 В.
7. Знайти відстань від точки А(-1;5) до параболи у2 = х.
В.
8. Знайти відстань між колом х2 + у2 = 1 і прямою х + у = 4.
В.
9. Знайти відстань від точки А(-1;3) до прямої у = 1 -3 х .
В.
10. Знайти функцію, на якій може досягатись екстремум функціонала
J[y(x)] = (y'2 -y'2)dx , у(0) = 0, якщо другий кінець ковзає по прямій х = π/4.
В. у ≡ 0
Приклад 4 . Знайти допустиму екстремаль функціоналу
J[у(х)]
=
при умові ,
що кінці належать лініям
y=-x+1,
y=2x
.
Розв’язання . Складемо рівняння Ейлера :
Pозв’язок
його має вигляд
Умови трансверсальності дають:
c2 =-0,8 ; c1=-1,6.
В. рівняння екстремалі c2 =-0,8 ; c1=-1,6.
Y(x)=-1,6 sinx – 0,8cosx
Приклад 5.
Знайти найменшу
відстань між прямою у=-х і гіперболою
.
Розв’язання .
Нехай (a1
, - a
)- точка
прямої , а (b
,
)
- точка гіперболи . Тоді подвоєний квадрат
відстані між цими точками 2(a-b)2+2(a+
)2=
= 4a2-4a(b-
)+2(b2+
)
=(2a-b+
)2-(b-
)2+2
(b2+
)
≥ b2+
+2
≥4.
Знак рівності має місце , якщо одночасно виконуються рівності b2=1,
2a-b+
=0,
тобто
b=
1
i a=0 . Отже
, шукана відстань
.
Задача. Розв’язати задачу методами варіаційного числення.