2. Интегральная формула Муавра-Лапласа
Пусть требуется
найти
где
-
целые положительные числа, X
имеет биноминальное распределение.
Рассматривается случай, когда число
испытаний n достаточно
большое. В этом случае как отмечалось,
случайная величина Х приближенно имеет
нормальное распределение. Следовательно,
по формуле Лапласа с учетом
,
будем иметь
,
где
.
Эта формула называется интегральной
формулой Муавра-Лапласа.
Пример 1. Смесь состоит из 40% крашеного хлопка и 60% некрашеного. Определить вероятность того, что в случайном соединении из 200 волокон крашеных волокон окажутся не менее 90 и не более 120.
Используем
интегральную формулу Муавра-Лапласа.
Имеем p = 0,4; q
= 0,6; n = 200;
.
Сначала находим
Итак, имеем
.
Пример 2. В швейном цехе 100 машин. Вероятность того, что за время T сломается одна игла, равна p = 0,12. Определить вероятность того, что наличие 10 запасных игл обеспечит бесперебойную работу всего швейного цеха за время T.
Наличие 5 игл позволяет обеспечить бесперебойную работу только в том случае, если из 100 машин потребуют замены иглы не более чем 10 машин.
Итак, n=100,
p=0,12;
.
Вычислим
.
7. Распределение Пуассона
Вернемся к
распределению Пуассона. Возможными
значениями случайной величины X
с распределением Пуассона являются
числа 0,1,2, ...; а их вероятности определяются
так
,
m=1,2,...; Распределение
Пуассона определяется одним параметром
а.
Отметим следующее: математическое ожидание и дисперсия случайной величины с распределением Пуассона равны между собой и раны параметру распределения а.
Несложно
устанавливается, что распределение
Пуассона является пределом биноминального
распределения при
.Отсюда
при малом p и n
достаточно большом, а
имеем приближенную формулу
.
То есть, распределение Пуассона выражает закон распределения числа появлений маловероятных событий при большом числе испытаний. Поэтому иногда распределение Пуассона называют законом малых чисел. Значения обычно определяют по таблице, имеются специальные таблицы для определения этих значений для конкретных m и a.
Закон распределения Пуассона существенно используется при исследовании обрывности нити. В.П. Левинским и А.Б. Мякиной было установлено, что технологическая обрывность, т.е., число обрывов на 1000 веретен в час при налаженном технологическом процессе, приближенно подчиняется распределению Пуассона. Поэтому, прежде всего, соотношение M(X)=D(X)=a является критерием технологической обрывности, не выполнение этого условия может быть свидетельством того, что обрывность обусловлена нетехнологической обрывностью, т.е. неполадками производственного характера (неисправностью веретен, некачественным обслуживанием и т.д.).
Пример 1. Мотальщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 мин равна 0,003. Определить вероятность того, что в течение 1 мин обрывы произойдут:
на 4 веретенах; 2) не более чем на 4 веретенах.
Итак, n=1000;
р=0,003;
.По формуле
, применяя специальную таблицу находим
Далее используя теорему сложения вероятностей определим
Теперь рассмотрим
задачу такого типа. Прядильщица за
длительный промежуток времени T
в среднем ликвидирует в минуту
обрывов. Следует определить вероятность
того, что в течение времени t
мин ликвидирует m обрывов.
Как известно, эта задача сводится к
применению асимптотической формулы
Пуассона:
.
Пример 2. Прядильщица в среднем ликвидирует 180 обрывов в течение часа на 1000 веретен. Определить вероятность того, что в течение 2 мин потребуется ликвидировать 4 обрыва.
Имеем
.
Итак, по вышеприведенной формуле будем иметь
.
Заключение. Пусть случайная величина Х имеет биноминальное распределение.
1. Если число испытаний n небольшое, то вероятности возможных значений целесообразно найти по формуле Бернулли
.
2. Если число испытаний n достаточно большое, то вероятности возможных значений определяются по локальной формуле Муавра - Лапласа
.
3. При малом p и n достаточно большом используют асимптотическую формулу Пуассона
, где a = np.