9.8. Формулы обобщенного закона Гука
До сих пор мы
отдельно исследовали напряженные и
деформационные состояния и не связывали
их со свойствами материала. Однако, для
решения задач необходимо установить
зависимость между компонентами напряжения
и деформацией
.
В пределах малых деформаций эта
зависимость является линейной и носит
название обобщенного закона Гука.
Наиболее простую форму приобрел закон Гука для изотропного материала. В этом случае коэффициент пропорциональности между и не зависят от ориентации осей в точке.
Для составления зависимости между и воспользуемся принципом (суперпозиции) независимости действующих сил и рассмотрим раздельные силы, возникающие на гранях параллелепипеда (рис. 9.14).
Рис. 9.14
Относительное удлинение в направлении оси равно
.
Такие же выражения
получим и для
и
.
Угловые деформации будут происходить
в трех взаимно перпендикулярных
плоскостях.
В любой из координатных плоскостей деформация определяется только соответствующим касательным напряжением. Два других напряжения не влияют, что является следствием свойств изотропии материала.
Выпишем окончательные формулы обобщенного закона Гука.
(9.18)
Объемную деформацию получим сложением первых трех формул
.
(9.19)
Глава 10. Критерии пластичности и разрушения
10.1. Постановка вопроса
Рис. 10.1
Возникает вопрос: можно ли при работе материала в условиях сложного напряженного состояния (рис.10.1,б) пользоваться механическими характеристиками, полученными при одноосном растяжении?
Этот вопрос является главным, т.к. он означает, что напряженное состояние в точке является причиной изменения механических состояний материала.
Задача состоит в том, чтобы установить меру напряженного состояния, при достижении которой происходит переход от упругого состояния к пластическому, от пластичности к разрушению, т.е. выработать критерий пластичности и разрушения. Между ними нужно делать четкое разграничение, т.к. физические процессы, протекающие в этих состояниях, существенно различны и нет оснований для их отождествления.
10.2. Условия пластичности и разрушения
Условия (критерии) пластичности и разрушения являются важными обобщениями понятий пределов текучести и прочности при одноосном растяжении (сжатии) на случай напряженного состояния (рис. 10.2)
При одноосном растяжении предельные условия перехода в пластическое состояние и разрушение имеют соответственно вид (рис. 10.2)
,
а условие прочности
—
.
Рис. 10.2
В случае простейших видов напряженного состояния легко поставить эксперимент и путем сопоставления напряжений, возникающих в детали, с допускаемыми можно судить о ее прочности. Если пойти по этому пути в случае сложного напряженного состояния, то для каждого напряженного состояния нужно было бы иметь диаграммы испытания с числовыми характеристиками предельных точек. Такой подход совершенно не приемлем. Во-первых — невозможно исчерпать все типы напряженных состояний, т.к. их бесчисленное множество. Во-вторых — техника эксперимента в настоящее время позволяет проводить испытания лишь для некоторых типов напряженных состояний, которые часто требуют применения уникального оборудования.
Из указанного следует, что критерии пластичности и разрушения при сложном напряженном состоянии должны базироваться на ограниченном числе опытов.
Для оценки опасности
сложного напряженного состояния вводят
эталон, за который удобнее всего принять
простое растяжение с напряжением
(Рис. 10.3).
Рис. 10.3
Эквивалентное — это такое напряжение, которое нужно создать в растянутом образце, чтобы его состояние стало равноопасно с заданным сложным напряженным состоянием.
Вопрос состоит в том, как выразить через .
Для этого рассмотрим некоторые гипотезы пластичности и условия разрушения. Из множества выдвигавшихся гипотез пластичности в настоящее время сохранили свое значение лишь две.