- •Кратные интегралы Двойные интегралы
- •§1. Задача об оъёме цилиндрического бруса.
- •§2. Понятие двойного интеграла.
- •§3. Свойства двойного интеграла.
- •§4. Вычисление двойного интеграла.
- •Свойства двукратного интеграла
- •Оценка двукратного интеграла
- •Теорема о среднем.
- •§5 Замена переменных в двойном интеграле.
- •6. Вычисление площадей и объёмов с площадью двойных интегралов.
- •§7 Тройной интеграл, масса неоднородного тела.
- •§8 Вычисление тройного интеграла.
- •Теорема об оценке трёхкратного интеграла.
- •Теорема о среднем.
- •§9 Вычисление объёма тел с помощью тройного интеграла.
- •§10 Замена переменных в тройном интеграле.
- •Общая замена переменных в тройном интеграле.
- •Т ройной интеграл в цилиндрических координатах.
- •Тройной интеграл в сферических координатах.
Кратные интегралы Двойные интегралы
§1. Задача об оъёме цилиндрического бруса.
Дана функция z=f(x,y)– непрерывная в некоторой замкнутой обл. D пл. XOY. Обл. D ограничена линией l. Функция f(x,y)>0 во всех точках обл. D. Требуется найти объём тела B, ограниченного поверхностью z=f(x,y), плоскостью z=0 и цилиндрической поверхностью, образующие которого параллельны оси OZ, а направляющей служит контур l обл. D. Такое тело называется цилиндрическим брусом.
Разобьём обл. D произвольными линиями на n элементарных частей , , …, , площади которых обозначим теми же символами , , …,
В каждой из площадок выберем произвольно точку , их будет n точек
, , …, .
Вычислим значения функции в этих точках
f( ), f( ), …, f( ).
С
1
оставим сумму произведений вида :
Эта сумма называется интегральной суммой для функции f(x, y) в обл. D.
Так как f(x,y)>0 в обл. D, то – объём цилиндра с основанием и высотой
Для различных разбиений обл. D на части и произвольном выборе точки получим последовательность интегральных сумм:
2
, , … , , …Эта последовательность возрастает с возрастанием k, но в то же время она ограничена снизу и сверху
где m – наименьшее значение функции f(x, y) в обл. D.
M
2
наибольшее значение функции f(x, y) в обл. D.С
1
ледовательно существует предел последовательности интегральных сумм . И этот предел есть объём цилиндрического бруса
При максимальный диаметр площадок
§2. Понятие двойного интеграла.
О
2
1
2
пределение: Если функция f(x,y) непрерывна в замкнутой обл. D, то существует предел последовательности интегральных сумм , при условии что максимальный диаметр площадок стремится к нулю, а . Этот предел один и тот же для любой последовательности вида , то есть он не зависит ни от способов разбиения области D на площадки , ни от выбора точки внутри площадки Этот предел называется двойным интегралом от функции f(x,y) по обл. D и обозначается:
то есть:
max diam
Обл. D называется областью интегрирования.
§3. Свойства двойного интеграла.
Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла
Двойной интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен соответствующей сумме интегралов от этих функций
1-ое и 2-ое свойства легко доказать ссылаясь на определение двойного интеграла
Е
3
сли обл. D разбить на две обл. и без общих внутренних точек и функция непрерывна во всех точках обл. D, то
Д оказательство:
Р
4
азобьем область D на 2 области и так, чтобы их граница совпала с границей разбиения на площадки .
4
П
3
ереходя в равенствек пределу при max , получим равенство .