2.2.6 Проверка гипотезы относительно доли признака (о вероятности "р" биномиального распределения)

Пусть имеется выборка объемом "n", в которой некоторый признак генеральной совокупности наблюдается "m"-раз. Требуется проверить гипотезу Н₀ о том, что доля "р" признака в генеральной совокупности равна некоторой нормативной величине "р₀" (то есть Н₀: р=р₀), против альтернативной гипотезы Н₁: р=р₁ или Н₁: .

Для проверки гипотезы рассмотрим случайную величину , являющуюся выборочной оценкой вероятности р проявления некоторого признака генеральной совокупности в одном наблюдении из серии "n" независимых наблюдений. Очевидно, что р^* распределена биномиально и при этом , .

При достаточно большом "n" и при условии выполнения нулевой гипотезы статистика

может считаться распределенной асимптотически нормально с параметрами ; .

Пусть Н₁: и . Построим правостороннюю критическую область:

, ,

.

и, если , то Н₀ отвергается, иначе Н₀ принимаем.

Пусть Н₁: и . Построим левостороннюю критическую область:

, ,

если , то Н₀ отвергаем, иначе Н₀ не противоречит выборочным данным.

Пусть Н₁: . Построим двустороннюю критическую область:

, ,

,

если , то гипотеза Н₀ принимается, иначе отвергается.

2.3 Критерии согласия

Для статистической проверки гипотез о теоретическом (модельном) виде закона распределения вероятностей исследуемой случайной величины используют критерии согласия. На основании оценки закона распределения в форме ряда распределения, статистической функции распределения, полигона, гистограммы или иных соображений, порой априорного характера, мы делаем предположение о модельном виде закона распределения (выдвигаем нулевую гипотезу) Н₀: , где - вектор параметров теоретического распределения. К примеру, Н₀: случайная величина (генеральная совокупность) распределена биномиально или равномерно, или нормально и т.п. При этом возможна, как ситуация, когда вектор параметров гипотетического распределения неизвестен, так и ситуация когда вектор известен. Наша задача на основании "n" независимых наблюдений (выборки) случайной величины проверить справедливость гипотезы Н₀ или отвергнуть ее. Для проверки гипотезы выбираются (строятся) критические статистики, измеряющие расстояние между эмпирическим законом распределения и гипотетическим семейством . Заметим, что если неизвестен, то предварительно ищут его состоятельную и, по возможности, эффективную оценку.

2.3.1 Критерий согласия х2 Пирсона

Этот критерий позволяет проверить гипотезы о виде распределения, как для дискретных, так и непрерывных величин. Критерий основан на теореме Пирсона-Фишера согласно которой, если гипотеза Н₀ о характере распределения справедлива, то критическая статистика

(2.6)

имеет (при ) распределение хи-квадрат с степенями свободы, где l – число возможных вариант дискретного вариационного ряда или число интервалов интервального вариационного ряда; m_j – частота варианты x_j дискретного вариационного ряда или частота попадания наблюденных значений в j-ый интервал интервального вариационного ряда; n – объем выборки; - выборочная, несмещенная, состоятельная оценка вектора параметров гипотетического распределения (если он неизвестен); - вероятность наблюдения варианты x_j или вероятность попадания исследуемой случайной величины в j-ый интервал, вычисленная с помощью гипотетического распределения , в котором (если он неизвестен) заменен на ; n – объем выборки; к – число параметров предполагаемого теоретического распределения оцениваемых по выборке, то есть, если - известен, то к=0, а если - неизвестен, то к – размерность ; - называют теоретической частотой.

Р.S. Заметим, что не рекомендуется исходить из слишком малых , а поэтому при расчете целесообразно объединить интервалы так, чтобы для объединенных интервалов. Объем выборки должен быть достаточно велик: .

Для проверки гипотезы Н₀: строим двустороннюю критическую область

, ,

,

Гипотеза Н₀ не отклоняется, если:

, в противном случае гипотезу Н₀ следует отклонить. При этом обратим внимание на то, что гипотеза Н₀ отклоняется, как при слишком больших отклонениях теоретического распределения от эмпирического, так и при слишком малых, поскольку такие ситуации следует считать маловероятными (неправдоподобными).