1. Разложение периодической функции в ряд Фурье

Многие явления природы происходят периодически, то есть повторяются в определенном порядке по истечении некоторого промежутка времени, называемого периодом. Математически такие явления описываются с помощью периодических функций.

Пусть - вещественная функция вещественного аргумента. Функция называется периодической с периодом , если она определена на всей вещественной оси и для всех выполняется равенство:

.

Замечание: Если функция имеет период , то она также имеет период , , …, то есть

.

Обычно за основной период принимают наименьшее положительное , для которого .

Следовательно, полное представление о функции можно получить, изучив ее на любом интервале длины , например: , , , ,…так как принимает одинаковые значения при любых , отличающихся друг от друга на .

Изменение функции за период называется ее колебанием.

Рассмотрим интеграл от периодической функции : .

К ак известно, геометрический смысл определенного интеграла это площадь фигуры, ограниченной функцией и осью на промежутке (см. рис.1).

А интеграл численно равен площади заштрихованной фигуры на рис.2

В идно, что площадь фигуры на рис.1 равна площади фигуры на рис.2, следовательно:

,

то есть интегралы по любым отрезкам длины от периодической функции с периодом равны.

С периодическими движениями (колебаниями) приходится иметь дело в самых различных областях знания – в теории упругости, акустике, радиотехнике, электротехнике, теории автоматического управления. В общем случае характер периодического движения может быть очень сложным.

Нужно сказать, что физики давно считали, что всякое сложное периодическое движение точки (сложное колебание) – будь то механическое колебание точки струны или электромагнитное колебание, или колебание, связанное с распространением звука – распадается на гармонические колебания, то есть сложное периодическое движение надо мыслить как сумму (конечную или бесконечную) простых гармонических колебаний того же периода, соответствующих данной частоте k (простейшими периодическими движениями являются гармонические колебания).

Физики такое разложение из реального движения получают при помощи специальных приборов – резонаторов, математики – при помощи вычислений.

Таким представлением периодической функции пользуются, например, в электротехнике: явления, происходящие в электрических цепях с несинусоидальной, периодически меняющейся электродвижущей силой, проще всего поддаются исследованию, если эту электродвижущую силу разложить на сумму гармоник.

Поэтому возникает потребность представления периодической функции в виде суммы более простых периодических функций, в качестве которых используются и .

С этой целью рассмотрим бесконечную систему тригонометрических функций:

(1)

где 1= и ,

Функции и являются периодическими с периодом Т:

Аналогично для .

Вообще минимальным периодом для функций и является , но тогда и тоже является периодом. Постоянную функцию (константу) можно считать периодической любого периода.

Таким образом, общий период всех функций из бесконечной системы (1) будет равен Т.

Так как функция имеет период , то это означает, что одно полное колебание происходит за промежуток времени . Количество колебаний в единицу времени это , а за секунд происходит колебаний. Эта величина называется круговой частотой (число колебаний за секунд).

Число колебаний в секунду – величина, обратная периоду: - также называется частотой колебания, ее единицей измерения является герц. и связаны равенством .

Введенная система тригонометрических функций является ортогональной на промежутке длины , так как интеграл по отрезку от произведения любых двух различных функций последовательности (1) равен нулю:

, при

Пусть дана периодическая функция с периодом , которая необязательно является тригонометрическим многочленом. С помощью введенной системы тригонометрических функций составим тригонометрический ряд:

, (2)

где вычисляются по формулам:

Этот ряд представляет собой частный случай функционального ряда и называется рядом Фурье для , а называются коэффициентами ряда Фурье для функции .

Слагаемое называется -той гармоникой ряда Фурье.

Ряд Фурье сходится к функции только при определенных условиях. Эти условия называются условиями Дирихле. Сформулируем их.

Функция удовлетворяет на отрезке условиям Дирихле, если:

1. непрерывна на , либо имеет на этом отрезке конечное число точек разрыва I рода.

2. монотонна на , либо имеет на этом отрезке конечное число экстремумов.

Теорема Дирихле: Если функция с периодом на отрезке длины удовлетворяет условиям Дирихле, то:

1. ряд Фурье для этой функции сходится на всей оси ,

2. сумма ряда Фурье равна во всех точках непрерывности этой функции: = ,

где -периодическая функция с периодом Т.

3. В точках разрыва I рода функции сумма ряда равна полусумме левого и правого пределов функции в этих точках.

точка разрыва I рода,

В частности, если на концах отрезка функция терпит разрыв, то сумма ряда в этих точках равна:

Эта теорема имеет достаточный характер. Если на некотором промежутке ряд Фурье сходится к функции , то говорят, что на этом промежутке функция разложена в ряд Фурье, и пишут:

= ,

Пусть на промежутке представима функцией . Тогда ряд Фурье для функции совпадает с рядом Фурье для функции , заданной на промежутке .

Ряд Фурье в виде называется рядом Фурье в вещественной форме.

Члены ряда (2) можно записать в виде гармоник:

Обозначая , получим

,

где - -ая гармоника, - амплитуда -ой гармоники, дает наибольшее отклонение точки, движущейся по закону , от начала координат, - фаза k-ой гармоники, причем, если при некотором и , то при таком гармоническое колебание не определено, -ая гармоника равна 0 и не существует; - частота k-ой гармоники.

Тогда ряд Фурье для функции примет вид:

.

Таким образом, разложение периодической функции в ряд Фурье эквивалентно представлению ее в виде бесконечной суммы гармоник, амплитуды которых и фазы определяются коэффициентами Фурье и :

- первая гармоника,

- вторая гармоника,

- третья гармоника, … и так далее.

Все гармоники имеют общий период .

Разложение функции в тригонометрический ряд единственно.

Аппроксимирующие тригонометрические полиномы для функции имеют вид:

,

,

,

,

..................................

.

Эти полиномы представляют собой частичные суммы ряда и являются последовательными приближениями функции на , с увеличением они все точнее и точнее представляют функцию .

Периодическая функция изображает периодическое движение (колебание) точки, имеющей в момент времени координату (на оси ).

Функция определяет гармоническое колебание точки с амплитудой , фазой и частотой . Это функция периода .