За допомогою 4 властивостей легко дістати послідовні скінченні різниці многочлена

у=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n

За властивостями 1-4 маємо

Отже, перша різниця многочлена n-го степеня з старшим членом а_оxⁿ є многочлен (n-1)-го степеня з старшим членом а_оnhx ^n-1

Обчисливши аналогічно послідовні різниці многочлена будь-якого порядку, впевнюємось у справедливості такої теореми:

Теорема 1. Якщо f(x) — многочлен n-го степеня відносно х із старшим членом а_оxⁿ , то різниця при k<n є многочленом (n-k)-го степеня із старшим членом а_оn(n-1)…(n-k+1)h^kx^n-k , коли k=n, =a₀n!hⁿ і при k>n різниця 0.

Теорема 2. Якщо n-1 різниці функції f сталі для будь-якого кроку h, то ця функція є многочленом n-го степеня.

Теорему 2 широко застосовують в обчислювальній практиці. Завдяки їй для знаходження проміжних значень функції за допомогою таблиці різниць із сталим кроком h обмежуються обчисленням значень інтерполяційних многочленів, степінь яких дорівнює порядку практично сталих різниць .

Сформульовані вище властивості скінченних різниць справедливі лише для точних різниць функції. Але в процесі обчислень значення округлюються, тому порядок практично сталих різниць істотно залежить від точності, з якою обчислюють значення функції, і від величини кроку таблиці.

Перший інтерполяційний многочлен ньютона

Нехай значення функції задано для рівновіддалених значень аргументу х₀, x₁= x₀+h, х₂ = x₀ +2h,..., x_n = x₀+nh.

Позначимо ці значення функції відповідно через у_о, у₁, у₂, ... , у_n.

Побудуємо інтерполяційний многочлен n-го степеня вигляду:

P_n(х) =q₀ + q₁ (х— x_о) + • • • + q_k (х— x₀) • • • (х— x_k-1) + ••• +

+q_n(x-x₀) • • • (x-x_n-1) (2.18)

так, щоб у вузлах інтерполювання х_і (і = 0,1,..., n) він набував значень Уі (і = 0,1, ... , n), тобто задовольняв умови

Р_n(х_і) =у_і (і = 0,1. ... , n) (2.19)

Раніше було доведено, що існує єдиний інтерполяційний многочлен степеня n, який задовольняє умови (2.19). Ним є інтерполяційний многочлен Лагранжа. Проте, як показує формула (2.18), інтерполяційний многочлен n-го степеня можна записати у вигляді, відмінному від інтерполяційного многочлена Лагранжа. Якщо в многочлені Лагранжа кожний з доданків є многочленом n-го степеня і всі доданки між собою рівноправні, то в многочлені (2.18) доданками є многочлени, порядки яких з віддаленням від початку підвищуються на одиницю.

Користуючись умовами (2.19), визначимо коефіцієнти q₀ , q_{1 ,} • • • q_k, ••• ,q_n многочлена (2.18).

Покладемо в (2.18) х = хо. Тоді з умов (2.19) дістанемо

Pn (х₀) =q₀ =у₀.

Якщо х =х₁, маємо

Pn (х₁) =q₀ + q₁ (х₁— x_о) або q₁=(y₁-y₀ )/(x₁-x₀)=y₀/h

Аналогічно, підставивши в формулу знайдені значення коефіцієнтів

q₂=²y₀/2h², q₃=³y₀/3!h³, …,q_n=ⁿy₀/n!hⁿ

Підставивши знайдені значення коефіцієнтів у (2.18), дістанемо

Р_п(Х)=y₀+y₀/h*(Х-Х₀)+²y₀/2h^2*(Х-Х₀)(Х-Х₁)+.…+

+ⁿy₀/n!h^n*(Х-Х₀)(Х-Х₁)*…*(X-X_n-1) (2.20)

Цей многочлен називають першим інтерполяційним многочленом Ньютона. Замінивши функцію f(x) відповідним їй інтерполяційним многочленом Р_п(Х) Ньютона, дістанемо наближену рівність

f(x)≈Pn(x). (2.21)

Цю формулу називають першою інтерполяційною формулою Ньютона.

На вигляд многочлен (і формула) Ньютона відрізняється від многочлена (і формули) Лагранжа. Але якщо ці многочлени побудовано для тієї самої функції f і однієї й тієї самої системи вузлів хі (і = 0,1, ...,n), то за теоремою про єдиність розв'язку інтерполяційної задачі вони тотожно дорівнюватимуть одна одній.

Якщо до заданої системи рівновіддалених вузлів інтерполювання додати ще один, то відповідний інтерполяційний многочлен Лагранжа треба будувати заново, а в інтерполяційному многочлені Ньютона додається лише один новий доданок, а вже обчислені доданки зберігаються без змін.

З формули (2.21) для n =1 дістанемо формулу лінійного інтерполювання

f(x)≈y₀+y₀/h*(Х-Х₀) (2.22)

а для n=2 — формулу квадратичного інтерполювання

f(x)≈y₀+y₀/h*(Х-Х₀)+²y₀/2h^{2 *}(Х-Х₀)(Х-Х₁). (2.23)

В обчислювальній практиці зручніше користуватися іншою формою запису многочлена Ньютона (2.20). Якщо покласти t =(x-x₀)/h

x- x₀ = th, х-x₁ =x-х₀- h = th-h= (t-l)h, x—x₂=(t-2)h,..., x-x_n-1=(t- (n-l))h

і многочлен (2.24) матиме вигляд

P_n(x)=P_n(x_o+th)=у₀+у₀t +1/2!*²у₀t (t-l)+••• +

+ 1/n!*ⁿу₀ t (t-1) •••(t-(n-1)). (2.24)

а перша інтерполяційна формула Ньютона (2.21)

f(x) ≈ P_n(x_o+th). (2.25)

Різницю

f(x) - P_n(x_o+th)=Rn (х) (2.26)

називають залишковим членом першої інтерполяційної формули Ньютона.

Оскільки для даної функції f і даної системи рівновіддалених вузлів х_і (і=0,1, ... , n) існує єдиний інтерполяційний многочлен степеня n, то інтерполяційні многочлени Лагранжа і Ньютона збігатимуться між собою, тобто Ln(x) в Рn(х). А тому й залишковий член інтерполяційної формули Ньютона (2.21) збігатиметься із залишковим членом формули Лагранжа. З введенням змінної t залишковий член Rn набуває вигляду

|Rn (х)| = |R_n(x₀+ th)| <

де M_n+1 = max |f⁽ⁿ⁺¹⁾ (х)|

Формулу (2.21) або (2.25) називають також інтерполяційною формулою Ньютона для інтерполювання вперед.

Якщо перші різниці функції практично сталі, то користуються формулою лінійного інтерполювання, а якщо другі різниці функції практично сталі, то користуються формулою квадратичного інтерполювання. і