1.7. Статистические гипотезы и достоверность статистических характеристик

1.7.1. Статистическая проверка гипотез (цель, сущность)

Гипотеза – научное предположение, выдвигаемое для объяснения какого-либо явления и требующее проверки на опыте и теоретического обоснования для того, чтобы стать достоверной научной теорией.

Статистической гипотезой называется проверяемое математическими методами предположение относительно статистических характеристик результатов измерений. Обозначается буквой Н. Статистические гипотезы (предположения) выдвигаются с той целью, чтобы после проверки и обоснования стать достоверными или быть отвергнутыми.

Примеры гипотез:

1. Предполагается, что после периода тренировок по исследуемой методике спортсмены улучшили свои скоростные качества. Пусть -- средний показатель скоростных качеств до тренировок, -- после тренировок. Рассчитанная их разность может оказаться > 0. Но означает ли это действительно улучшение скоростных качеств? Можно ли его считать существенным?

2. Предполагается, что два каких-либо показателя (время пробега 100 м и сила кисти руки) взаимосвязаны. Путем расчета можно получить коэффициент корреляции и наверняка он будет отличен от нуля. Но является ли это отличие закономерным или случайным?

3. В результате многократных измерений получен ряд результатов исследуемого показателя. Для дальнейшей обработки необходимо выяснить, подчиняется ли распределение этого ряда нормальному закону? Выдвигается две противоречащие друг другу гипотезы: а) распределение нормальное и б) отличается от нормального. В результате математической проверки необходимо выяснить, какую из гипотез мы сделаем достоверным суждением, а какую отвергнем.

1.7.2. Принцип проверки статистических гипотез (критическая область)

Процедура проверки гипотез обычно сводится к тому, что по выборочным данным вычисляется значение некоторой величины, называемой критерием, который имеет известное стандартное распределение (например, t-распределение Стьюдента), поэтому вычислительная работа упрощается. Найденное значение критерия сравнивается с критическим (граничным) значением критерия, взятым из соответствующих таблиц, и по результатам сравнения делается вывод: принять гипотезу или отвергнуть.

Если вычисленное по выборке значение не превосходит граничного значения, то гипотеза Н₀ принимается. Область значений критерия, при которых гипотеза Н₀ принимается, называется областью принятия гипотезы. Область значений критерия, при которых Н₀ отвергается в пользу альтернативной гипотезы Н₁, называется критической областью.

Односторонняя критическая область используется, если, согласно конкурирующей гипотезе, одна рассматриваемая величина может быть только больше (или только меньше) другой величины.

Д вусторонняя критическая область используется, если, согласно конкурирующей гипотезе, одна рассматриваемая величина может быть как больше, так и меньше (не равна) другой.

1.7.3. Проверка статистических гипотез. Ошибка первого и второго рода

При проверке статистических гипотез чаще всего выдвигается две гипотезы, противоречащие друг другу. Причем одна из них называется нулевой (Н₀), а другая – альтернативной (Н₁).

При этом гипотезы Н₀ и Н₁ должны выдвигаться таким образом, чтобы составлять сумму всех возможных исходов, т.е. чтобы с вероятностью 100% одна из них (и только одна) оказалась достоверной. Например, Н₀ – распределение подчиняется нормальному закону, Н₁ – закон распределения отличается от нормального; Н₀ – показатель времени пробега 100 м и показатель кистевой динамометрии не имеют взаимосвязи (r=0), Н₁ – взаимосвязь между вышеупомянутыми показателями имеется (r0); Н₀ – скоростные качества спортсменов после периода тренировок по новой методике улучшились ( ), Н₁ – улучшение скоростных качеств после тренировок не наблюдается ( ), а отличие от нуля выборочного значения d оказалось случайным.

Ошибки, допускаемые при проверке гипотез, удобно разделить на два типа:

1. отклонение гипотезы Н₀, когда она верна, -- ошибка первого рода;

2. принятие гипотезы Н₀, когда в действительности верна какая-то другая гипотеза, -- ошибка второго рода.

Уровень значимости () – это вероятность попадания критерия К в критическую область, если принимается нулевая гипотеза. Иначе говоря, это – вероятность ошибки первого рода. Он служит для определения по таблицам критических значений (К_крит), которые указывают положение критических точек, отделяющих критическую область от области принятия гипотезы. Обычно величина  выбирается малой. Поэтому вероятность ошибки первого рода (отклонение Н₀, когда она верна) мала. Часто =0,05. Это означает, что вероятность ошибочно принять гипотезу Н₁ при справедливости гипотезы при справедливости гипотезы Н₀ равна только 5%.