- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика Программа курса
- •Случайные события
- •Классическое определение вероятности
- •Вероятность произведения событий
- •Вероятность суммы двух событий
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Вероятность появления хотя бы одного из n независимых событий
- •Общая теорема сложения
- •Формула Бернулли
- •Формула Пуассона
- •Простейший поток событий
- •Случайные величины Закон распределения дискретной случайной величины
- •Математическое ожидание и дисперсия
- •Биномиальное распределение. Распределение Пуассона
- •Функция распределения и ее свойства Плотность распределения
- •Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины
- •Нормальный закон распределения
- •Понятие о центральной предельной теореме Ляпунова Интегральная теорема Муавра-Лапласа
- •Элементы математической статистики Эмпирическая функция распределения
- •Генеральное и выборочное среднее Генеральная и выборочная дисперсии
- •Интервальные оценки параметров распределения Оценка неизвестного математического ожидания нормально распределенной с.В. При известном среднем квадратичном отклонении
- •Элементы теории корреляции Выборочное уравнение регрессии
- •Пример контрольной работы (дневное отделение)
- •Примеры контрольных тестов тест 1
- •1) Несовместные; 2) невозможные; 3) независимые равновозможные; 4) достоверные; 5)независимые
- •1) Нельзя определить; 2) 16 или 17; 3)18; 4) 15; 5) 16.5
- •43.4; 2) 1; 3) 12.04; 4) 5.6; 5) Данных недостаточно
- •1) 1; 2) 0; 3) Данных недостаточно; 4) 0.5; 5) 6
- •Равновозможные; 2) достоверные; 3) независимые; 4) несовместные;
- •5) Невозможные.
- •1) 1; 2) 0; 3) Данных недостаточно; 4) 2; 5) 0.5
- •1) 3; 2) 2.5; 3) 0.6; 4) 1; 5) Данных недостаточно
- •1) Данных недостаточно; 2) 1; 3) 0; 4) 0.5; 5) 17
- •1)Данных недостаточно; 2) 50; 3) 3; 4) 7; 5) 25
- •Литература
Биномиальное распределение. Распределение Пуассона
Важным примером распределения дискретной случайной величины является биноминальное распределение. Пусть имеется некоторое случайное событие А, вероятность появления которого в каждом из испытаний постоянна и равна p. Производится n независимых испытаний. Случайная величина Х – число появлений события А в n независимых испытаниях. Возможными значениями с.в. Х, распределенной по биноминальному закону, являются все целые числа от 0 до n. Величина Вер{Х = k} – вероятность того, что в n испытаниях событие А произойдет ровно k раз – вычисляется по формуле Бернулли.
|
(21) |
где q = 1 – р.
Введем в рассмотрение случайные величины Хi, i = 1,2,… n-число появлений события А в i-испытании. Тогда Х = Х1 + Х2 + …+ Хn – общее число появлений события А в n независимых испытаниях – равно сумме числа появления события А в каждом из n испытаний. Случайные величины Хi, i = 1,2,…, n принимают только два значения: 0 – с вероятностью q и 1 – с вероятностью p.
Следовательно,
Далее,
|
(22) |
а так как случайные величины Xi независимы, то
|
(23) |
Таким образом, математическое ожидание числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события А, а дисперсия равна произведению числа испытаний на вероятность появления события А и на вероятность его не появления.
Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной, имеющей распределение Пуассона:
M(X)= m = , D(X)= m2 - = .
Пример19. Пусть некоторая случайная величина распределена по закону Пуассона. По результатам наблюдаемых значений 2; 1; 1; 3; 1; 4; 2; 5; 1; 7 оценить неизвестный параметр случайной величины.
Решение. Математическое ожидание M(X) случайной величины есть ее среднее значение. Для случайной величины, распределенной по закону Пуассона
Пример 20. Бросаются две игральные кости. Случайная величина Х – число очков, выпавших на первой игральной кости; Y – на второй; Z – суммарное число очков, выпавших на двух игральных костях. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайных величин Х, Y, Z.
Решение. Закон распределения с.в. Х задается таблицей:
Таблица 4
X |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Р |
|
|
|
|
|
|
Законы распределения с.в. X и Y совпадают, т.е. X = Y, а Z = X + Y. Заметим, что Z = X + Y 2·X (!!) .
Вычислим математическое ожидание и дисперсию с.в. Z, пользуясь законом распределения, заданным в таблице 1:
Пример 21. Из ящика, содержащего 3 черных и 5 белых шаров, наудачу извлекается 4 шара. Случайная величина Х – число вытащенных белых шаров. Найти математическое ожидание и дисперсию с.в. Х.
Решение. Построим закон распределения с.в. Х. Она может принимать любое значение от 1 до 4.
Таблица 5
X |
1 |
2 |
3 |
4 |
P |
p1 |
P2 |
р3 |
р4 |
Для того, чтобы понять, что представляет собой сумма случайных величин, рассмотрим следующий пример.
Пример 22. Производится стрельба из трех орудий. Первое попадает при каждом выстреле с вероятностью 0.8, второе - 0.5, третье - 0.6. Все орудия выстрелили по одному разу. Случайная величина X - число снарядов, попавших в цель. Требуется построить закон распределения, найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
Решение. Введем обозначения: A - cобытие, заключающееся в том, что первое орудие попало в цель, B - второе орудие попало в цель, C - третье. Далее находим P(X=0)=P
P(X=1)=P
=
P(X=2)=P
=
P(X=3)=P
Закон распределения нашей случайной величины имеет вид:
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
P |
0.04 |
0.26 |
0.46 |
0.24 |
Вычислим математическое ожидание и дисперсию:
M(X)=
D(X)=M( )- =
Введем в рассмотрение следующие случайные величины: X1- число снарядов, попавших в цель из первого орудия, X2 - число снарядов, попавших в цель из первого орудия,
X3 - число снарядов, попавших в цель из первого орудия. Законы распределения этих случайных величин имеют вид:
X1 |
0 |
1 |
|
X2 |
0 |
1 |
|
X3 |
0 |
1 |
P |
0.2 |
0.8 |
|
P |
0.5 |
0.5 |
|
P |
0.4 |
0.6 |
M(X1)=
D(X1)=M( )-M2(X1)=
Аналогично находим M(X2) = 0.5; M(X3) = 0.6; D(X2) = 0.25; D(X3) = 0.24.
Нетрудно видеть, что X=X1+X2+X3 , следовательно
М(X)= M(X1)+ M(X2)+ M(X3)=0.8+0.5+0.6=1.9.
Так как случайные величины X1, X2, X3 независимы, то
D(X)= D(X1)+ D(X2)+ D(X3)=0.16+0.25+0.24=0.65.
Предположим, что из первого орудия выстрелили 100 раз, из второго -200, из третьего-250 раз, случайная величина X число попаданий в цель. Построить закон распределения такой случайной величины сложно, так как она может принимать очень много значений. возможные значения- любое число от 0 до 550. Однако M(X)= D(X)= среднее квадратичное отклонение Полученный результат можно интерпретировать следующим образом (приближенно)- в цель попадет 550 снарядов ‘плюс минус’ 11.