3. Сильное равновесие по Нэшу

Важная особенность ситуации равновесия по Нэшу заключается в том, что отклонение от нее двух и более игроков может привести к увеличению выигрыша одного из отклонившихся игроков.

Пусть – некоторое подмножество игроков (коалиция) и пусть – ситуация в игре . Обозначим через - ситуацию, которая получается из ситуации x при замене в ней стратегий на стратегии , .

Определение 18. Ситуация называется сильно равновесной, если для любых коалиций и выполняется неравенство:

. (11)

Условие (11) гарантирует нецелесообразность соглашения между игроками с целью вступления в некоторую коалицию S, так как в любой коалиции находится игрок i, которого это соглашение не устраивает. Любая сильно равновесная ситуация является равновесной по Нэшу.

Отметим, что в игре «дилемма заключенного» ситуация (С, С) с вектором выигрышей (-8, -8) является равновесной (не сильно равновесной). Однако, если оба игрока сыграют (О, О), то они получат вектор выигрышей (-1, -1), что более выгодно обоим игрокам. Данный результат является следствием того, что при одновременном отклонении от равновесных стратегий каждый из игроков может улучшить свой выигрыш.

4. Равновесие по Парето

Принцип оптимальности Парето приводит к ситуациям более выгодным всем участникам, чем в случае равновесных ситуаций.

Рассмотрим множество игроков , то есть множество вектор-выигрышей игроков во всех возможных ситуациях .

Определение 19. Ситуация в бескоалиционной игре называется оптимальной по Парето, если не существует ситуации , для которой имеют место неравенства:

, для всех и найдется хотя бы один игрок , для которого .

Таким образом, не существует другой ситуации , которая была бы предпочтительнее ситуации для всех игроков. В ситуации равновесия по Парето все игроки, действуя совместно, не могут, меняя свои стратегии, увеличить выигрыш каждого.

Примеры

Пример 3. В игре «дилемма заключенного» найти ситуации равновесия по Парето.

Решение

Будем последовательно просматривать все ситуации игры с матрицей .

Рассмотрим ситуацию (О,О) с вектором выигрышей , где , . Существуют ситуации лучшие по сравнению с (О, О) для одного из игроков, но при этом одновременно худшие для другого игрока (например, (С, О) лучше для Р1, но хуже для Р2; (О, С) предпочтительнее для Р2 по сравнению с (О,О), но хуже для Р1; ситуация (С, С) хуже для обоих игроков). Следовательно, (О, О) является ситуацией равновесия по Парето, так как. не существует другой ситуации, не менее выгодной для обоих игроков и более выгодной хотя бы для одного. Аналогичные рассуждения можно провести для ситуаций (С, О) и (О,С), которые также являются ситуациями равновесия АО Парето. Для ситуации (С,С) с вектором выигрышей (-8,-8) существует ситуация (О, О), лучшая как для Р1, так и для Р2. Поэтому данная ситуация равновесной по Парето не является.

Пример 4. В игре «семейный спор» найти ситуации равновесия по Парето.

Решение

Будем последовательно просматривать все ситуации игры с матрицей .

Не существует ситуации не менее выгодной для обоих игроков и более выгодной хотя бы для одного по сравнению с ситуациями (Ф,Ф) и (Т,Т) (ситуации (Ф,Т) и (Т, Ф) менее выгодны сразу для обоих игроков, т. к. в них выигрыши Р1 и Р2 уменьшаются, (Т,Т) более выгодна по сравнению с (Ф,Ф) для Р2, но менее выгодна для Р1, а (Ф,Ф) более выгодны по сравнению с (Т,Т) для Р1, но менее выгодна для Р2). Таким образом, (Ф,Ф) и (Т,Т) являются ситуациями равновесия по Парето. Ситуации (Ф,Т) и (Т,Ф), векторы выигрышей в которых совпадают и равны (0,0), не являются Парето-оптимальными, так как ситуация, например, (Ф,Ф) с вектором выигрышей H=(4, 1) лучше для обоих игроков по сравнению с ними.