- •А.И. Ходанович математическое моделирование на компьютере
- •История математического моделирования на компьютере
- •Задачи аналитического и численного моделирования
- •1. Симметрия и модели с числовыми последовательностями
- •1.1 Формула пути равнопеременного движения
- •1.3 «Золотое сечение» и числа Фибоначчи
- •1.4 Сопротивление бесконечной электрической цепи
- •1.5 Сопротивление конечной электрической цепи
- •1.6 «Золотое сечение» в поле тяготения
- •Равенство тяжелой и инертной массы в свободном падении
- •2.2 Реальная динамика тела в среде
- •2.3 Цепная линия и метод кратных скобок Пуассона
- •2.4 Баллистическая кривая
- •2.5 Модели космической динамики
- •2.6 Посадка «Гюйгенса» на Титан
- •Задача Кеплера
- •Слайд 10. Компьютерно-графическое моделирование в небесной механике
- •2.8 Орбита в пространстве скоростей
- •2.9 Конические сечения в поле тяготения
- •2.10 Прецессия орбиты при малом возмущении
- •2.11 Задача трех тел в небесной механике
- •2.12 Задача о брахистохроне
- •Слайд 11. Иллюстрация экстремальной траектории в поле тяготения
- •2.13 Управление таймером в режиме реального времени
- •2.14 Физический опыт и модель измерений
- •2.15 Водяные часы
- •2.16 Фракталы в комплексной плоскости
- •Слайд 14. Комплексные отображения в нелинейной динамике
- •3. Колебания и адиабатические инварианты
- •3.1 Гармонический осциллятор
- •3.2 Задача «Бездонный колодец»
- •3.3 Фигуры Лиссажу
- •3.4 Параметрические колебания
- •3.5 Маятник Капицы
- •3.6 Хаотическое поведение маятника и отображение Пуанкаре
- •3.8 Задача с соударениями
- •3.9 Хаотические колебания при соударениях
- •3.10 Представление колебаний рядом Фурье
- •3.11 Два тела на пружине
- •3.12 Цепочка Ферми-Паста-Улама
- •3.13 Линейная цепочка связанных осцилляторов
- •3.14 Колебания мембраны в интерактивной графике
- •3.15 Вращение частицы в трехмерной графике
- •4. Вероятностно-статистическая линия математического моделирования
- •4.1 Нормальное распределение и статистический критерий
- •4.2 Распределение расстояний между молекулами газа
- •4.3 Радиоактивный распад изотопа
- •4.4 Флуктуации и биномиальный случай
- •4.5 Статистическое распределение с бесконечной дисперсией
- •4.6 Закон больших чисел и центральная предельная теорема
- •4.7 Статистические усреднения в эксперименте
- •4.8 Диффузия в модели случайных блужданий
- •4.9 Иерархия временных масштабов в броуновской динамике
- •4.10 Метод Монте-Карло с генератором случайных чисел
- •4.11 Алгоритмы числа
- •4.12 Модели плоских фигур
- •4.13 Площадь круга с малым возмущением
- •4.14 «Игла Бюффона»
- •4.15 Выделение сигнала на фоне «шумов»
- •4.16 Регрессионная модель эксперимента и метод наименьших квадратов
- •4.17 Модели линейной регрессии в планировании эксперимента
- •5. Дидактические игры математического моделирования
- •5.1 «Телепат»
- •5.2 Игрушка «Раскидай»
- •5.3 Игрушка «Ванька-встанька»
- •5.4 Игра Баше
- •5.5 «Перевернутая» игра Баше
- •5.6 Игра в 15
- •Литература
- •Ходанович
3.15 Вращение частицы в трехмерной графике
Опыт изучения школьного курса физики свидетельствует о том, понятия векторной величины и векторного уравнения, переход к соответствующим скалярным уравнениям в проекциях на координатные оси и вызывают у школьников определенные затруднения [34]. Это связано с методической проблемой межпредметных связей физики и математики в вопросах векторной алгебры и аналитической геометрии, а также дидактической проблемой наглядности изучения физических процессов в трехмерном пространстве. Решение поставленных педагогических задач возможно в системах ИКГ, встроенных в современные математические программы и пакеты.
Рис.30. Векторные величины в трехмерной графике
Рис.31. Спираль траектории частицы в магнитном поле
При решении задач в электродинамике ИКГ- система дает весьма наглядное представление о траектории заряженной частицы в магнитном поле под действием силы Лоренца как векторного произведения (рис. 31).
4. Вероятностно-статистическая линия математического моделирования
Теория вероятностей - это наука о математических закономерностях случайных явлений и процессов. Речь идет о явлениях, наблюдения над которыми не всегда приводят к одним и тем же результатам, но для которых при массовом повторении наблюдений определенные результаты повторяются примерно в одной и той же доле случаев. Результат наблюдения (эксперимента) называют случайным событием, если он заранее не предопределен [17].
В теории вероятностей случайные события описываются с помощью множеств, и каждому случайному событию приписывается числовая характеристика Р(А), называемая вероятностью этого события и оценивающая «степень случайности».
Таким образом, осуществляется переход от реальных физических явлений к их абстрактным математическим моделям («вероятностным» моделям). Построение вероятностных моделей и математический анализ закономерностей для Р(А) составляют основное содержание теории вероятностей, а многие физические задачи и эксперименты являются приложениями стохастического моделирования и математической статистики.
Первые попытки определить вероятность случайного события математическими методами были сделаны в переписке известных ученых Б. Паскаля и П. Ферма в 1654 году. Первая книга по теории вероятностей была издана X. Гюйгенсом в 1657 году, а первые реальные эксперименты по теории вероятностей проводились французским исследователем Бюффоном в 18 веке. Приведенное ниже определение вероятности было дано Я. Бернулли в 1713 году.
Пусть некоторый эксперимент имеет конечное, не равное нулю, число попарно несовместных исходов. Назовем их элементарными событиями. Объединение всех элементарных событий назовем пространством элементарных событий и. Совокупность всех подмножеств , включающая само и пустое множество, очевидно, является полем событий. Обозначим это поле через F. Допустим далее, что все элементарные события равно возможны в силу объективных возможно физических причин. Тогда, по определению, вероятностью события А из F назовем число , где М(А) обозначает число благоприятных исходов (элементов в множестве А), М(] — число элементов в , образующих полную группу. Совокупность (, F, P) называется классической вероятностной моделью.
В физическом эксперименте, как правило, измеряется непрерывная случайная величина с характерной непрерывной функцией распределения и плотностью вероятности. Часто измерения при большой выборке (n>30) распределены по нормальному закону , причем, доверительный интервал (случайная погрешность) , где , а - заданная доверительная вероятность, Ф(t)- функция Лапласа. Таким образом, в физическом эксперименте мы можем определить доверительный интервал, который с определенной надежностью покрывает истинное значение измеряемой величины.
Рис.32. Классическая плотность вероятности гармонического осциллятора и гистограмма измерений
Заметим, что в физических задачах встречаются и другие функции распределения. Например, координата классической частицы в глубокой прямоугольной потенциальной яме равномерно распределена, плотность вероятности квантовой частицы является периодической функцией координаты, а классический гармонический осциллятор имеет нестандартную функцию плотности распределения , удовлетворяющую условию нормировки . Подобное распределение встречается в опытах по вращательной броуновской динамике с крутильным маятником [54].
Генерация выборки измерений с заданным распределением сводится к решению уравнения (рис.32). Экспериментальное изучение статистики физических измерений с помощью построения гистограмм на компьютере, оценка точности опыта являются важным аспектом практических задач вычислительной физики.