2. Классификация математических методов и моделей в экономике

В общем виде математическая постановка экстремальной задачи состоит в определении наибольшего или наименьшего значения целевой функции f (х₁, х₂, …, х_j, …, х_n) при усло­виях g_i (х₁, х₂, …, х_j, …, х_n) ≤ b_i (i=1, …, m), где f, g_i - за­данные функции; х_j (i=1, …, n) - искомые переменные; b_i (i=1, …, m) - некоторые действительные числа.

В зависимости от свойств функций f и g_i экономико-математические методы рассматривают как ряд самостоя­тельных разделов, изучающих методы решения определен­ных классов задач.

Прежде всего, экономико-математические методы под­разделяют на методы решения задач линейного и нелиней­ного программирования. При этом, если все функции f и g_i являются линейными или не содержат произведения иско­мых переменных, соответствующая задача - это задача линейного программирования. Если хотя бы одна из этих функций - нелинейная или содержит произведения иско­мых переменных, то соответствующая задача - задача не­линейного программирования.

Среди задач нелинейного программирования наиболее изучены задачи выпуклого программирования, в резуль­тате решения которых определяют минимум выпуклой (или максимум вогнутой) функции, заданной на выпуклом замк­нутом множестве.

Из задач выпуклого программирования подробно разработа­ны задачи квадратичного программирования, в которых тре­буется найти максимум (или минимум) квадратичной функ­ции при условии, что ее переменные удовлетворяют некото­рой системе линейных неравенств и (или) линейных уравнений.

Отдельные разделы экономико-математических методов изучают методы решения задач целочисленного, парамет­рического, дробно-линейного программирования.

В задачах целочисленного программирования неизвест­ные могут принимать только целочисленные значения.

В задачах параметрического программирования целевая функция или функции, определяющие область возможных изменений переменных (ограничения и граничные условия), либо то и другое зависят от некоторых параметров.

В задачах дробно-линейного программирования целевая функция - отношение двух линейных функций, а функ­ции, определяющие область возможных изменений пере­менных, также линейны. В отдельные разделы выделены задачи динамического и стохастического программирования.

Задача динамического программирования - задача, про­цесс нахождения решения которой является многоэтапным.

Если в целевой функции или в функциях, определяю­щих область возможных изменений переменных, содер­жатся случайные величины, то такую задачу относят к стохастическому программированию.

3. Линейное программирование

3.1. Постановка задачи линейного программирования

Значительная часть задач принятия решения - это за­дачи распределения ресурсов между объектами.

Пусть имеется т видов ресурсов. Наличие каждого i-го вида ресурса составляет b_i (i=1, …, m) в соответствующих единицах измерения. Эти ресуреы предназначены для про­изводства п видов продукции. Для выпуска единицы j-го вида продукции необходимо a_ij единиц i-го вида ресурса. Требуется определить, какого вида и сколько продукции следует произвести, чтобы такой выпуск был наилучшим для принятого критерия оптимальности.

Обозначим через x_j количество выпускаемой продук­ции j-го вида. Тогда для i-го вида ресурса можно записать:

где левая часть неравенства выражает потребность в ресурсе i-го вида, правая -располагаемое количество этого ресурса.

Распространяя на т видов ресурсов, это ограничение можно записать:

(1)

Если номенклатуру продукции ограничить предельны­ми значениями объемов производства и продаж, то запи­шутся следующие граничные условия:

(2)

где - соответственно минимально и максимально-допустимые объемы производства и продаж продукции j-го вида.

В зависимость (1) можно ввести дополнительные переменные. Тогда

(3)

В реальных задачах суммарное количество основных х_i (i=1, …, n) и дополнительных y_i (i=1, …, n) перемен­ных всегда больше, чем число зависимостей т, поэтому си­стема (1) имеет бесчисленное множество решений. Из этого бесчисленного множества следует выбрать одно - оптималь­ное, соответствующее критерию - цели решения задачи.

Цель задачи распределения ресурсов устанавливается какой-либо одной из двух взаимоисключающих постановок:

1. при заданных ресурсах максимизировать получае­мый результат;

2. при заданном результате минимизировать потребные ресурсы.

Первая постановка аналитически запишется:

(4)

(5), (6)

где х_j - количество выпускаемой продукции j-го вида - искомая переменная (j=1, …, n); n - количество наиме­нований продукции; с_j - величина, показывающая, какой вклад в результат дает единица продукции j-го вида; b_i - заданное количество ресурса i-го вида (i=1, …, m); т - количество наименований ресурсов; а_ij - норма расхода ресурса, т. е. какое количество ресурса i-го вида потребля­ется на производство единицы j-го вида продукции.

Решение задачи дает нахождение значений x_j, обеспечи­вающих при заданных ресурсах получение максимального результата. Вторая постановка задачи будет иметь вид:

(7)

(8), (9), (10), (11)

где С - минимально допустимое значение потребного ре­зультата.

Первую и вторую задачи, в которые переменные х_j вхо­дят в первой степени, т.е. в виде линейных зависимостей, называют задачами линейного программирования.

Каждая задача линейного программирования содержит целевую функцию (4) или (7), ограничения (5), (6) или (8)-(10), граничные условия.(6) или (10), (11). Ограничения могут включать зависимости как для ресурсов (b_i), так и для экономических показателей (С).

Для решения задач линейного программирования ис­пользуют графический и аналитический методы.