- •2. Задание по курсовой работе и график её выполнения
- •Содержание работы
- •График выполнения курсовой работы
- •3. Содержание пояснительной записки к курсовой работе
- •4. Синтез передаточных функций фильтров нижних частот
- •5. Синтез принципиальных схем фильтров
- •6. Общие рекомендации по выполнению курсовой работы
- •7. Требования к оформлению курсовой работы
- •Приложение I Таблицы для выбора варианта исходных данных
5. Синтез принципиальных схем фильтров
Окончательный этап синтеза фильтра состоит в построении его электрической принципиальной схемы. Для этого может быть использован подход на основе так называемого структурного синтеза, когда цепь с передаточной функцией К(р) образуется путем последовательного (каскадного) включения некоторого числа звеньев с передаточными функциями Кi(р), i =1,…m - число звеньев (рис.7).
Вход К1(p) K2(p) Km(p) Выход
Для структуры , представленной на рис. 7, очевидно, имеет место
(5.1)
и
(5.2)
Следовательно, передаточные функции Кi(р), i =1,…m должны быть такими, чтобы их произведение давало требуемую передаточную функцию К(р) или, другими словами, чтобы они могли реализовать полюсы функции К(р) , которые были определены ранее на этапе аппроксимации.
Из (4.9) и (5.1) следует, что передаточная функция К(р) ФНЧ любого порядка n может быть реализована на основе звеньев порядка не выше второго. Если n является четным числом, то передаточную функций (5.1) можно реализовать c помощью каскадного соединения m = n / 2. фильтров второго порядка, т.е. представить ее в виде
(5.3)
где (5.4)
(5.5)
В (5.4),(5.5) Zн1 и Zн2 представляют собой пары комплексно-сопряженных полюсов,
обобранные из всех полюсов в (4.9).
Е сли n- нечетное число, то тогда , и для реализации передаточной функции
К(р) необходимо использовать звено первого порядка. В этом случае К(р) можно представить в виде
(5.6)
определяются выражениями аналогичными (5.4) и (5.5) а К1(Р)- передаточная функция фильтра первого порядка
(5.7)
где Zн1 вещественный (отрицательный) полюс.
Передаточцую функцию (5.7) можно реализовать с помощью простейшей RС цепочки (рис. 8).
Для этой цепочки:
(5.8)
о ткуда полюс . Из (5.8) следует, что для ФНЧ первого порядка (на
уровне 0,5 коэффициента передачи по мощности), следовательно, нормированный полюс
будет равен - 1, т.е. для простейшей RC - цепочки передаточная функция
(5.7) имеет вид:
Два комплексно-сопряженных полюса передаточной функции K(p) можно реализовать, например с помощью активных ФHЧ второго порядка на основе операционных усилителей. Операционные усилители обладают высоким входным и низким выходным сопротивлением, что обеспечивает хорошую развязку звеньев друг от друга.
Построение активных RС - фильтров на основе операционных усилителей рассмотрено в /2, с. 361-356/ и других источниках /3,4/. Здесь кратко рассмотрим методику синтеза активного ФНЧ второго порядка, подробно изложенную в /2/.
Активное звено второго порядка можно получить, соединив инвертирующий вход операционного усилителя с выходом посредством двухпетлевой цепи обратной связи (рис, 9).
Y4
Y5
Y1 Y3
Вход
Выход
Y2
Для схемы, изображенной на рис. 9 в /2, с. 354/, получено выражение для передаточной функции в предположении, что операционный усилитель является идеальным, т. е. имеет бесконечно большие значения коэффициента усиления, полосы пропускания и входного сопротивления, а выходное сопротивление его бесконечно мало. Это выражение имеет вид
(5.9)
где Yi(P), i =1…5 —операторные проводимости, которые по условию должны быть реализованы с помощью пассивных двухполюсников типа R и C .В. случае резистора операторная проводимость будет равна G , а в случае конденсатора -рС .
Таким образом, задача синтеза активной цепи с двухпетлевой обратной связью сводится к подбору проводимостей пассивных элементов, которые обеспечивают заданный вид передаточной функции, а следовательно, и амплитудно-частотной характеристики.
Как известно из разд.4, передаточная функция ФНЧ 2-го порядка в общем случае должна иметь следующий вид
(5.10)
где , а, в, с - некоторые постоянные величины. Параметр связан с параметром А0 (напомним, что числитель передаточной функции обозначается через А0 тогда , когда в знаменателе свободный член равен 1, т.е. С = 1 ) соотношением
(5.11)
т.е. параметр А0 определяет значение передаточной функции на нулевой частоте входного сигнала или, как говорят, на постоянном токе. Параметр А0 также называют коэффициентом усиления.
Сравнивая (5.9) и (5.10), видим, что для реализации передаточной функции вида (5.10) необходимо, чтобы элементы У1 , Уз , У4 были резисторами, а элементы У2 и У5 -конденсаторами. При этом (передаточная функция (5.9) примет вид
(5.12)
Полюсы передаточной Функции (5.12) определяются выражением
(5.13)
Это выражение позволяет синтезировать ФНЧ 2-го порядка с заданными значениями полюсов, в том числе и с заданными значениями пар полюсов, выбранных для i -го звена второго порядка при каскадной реализации ФНЧ n - го порядка. К этому выражению еще требуется добавить соотношение, необходимое для обеспечения заданного значения параметра A0 . Как следует из (5.11) и (5.12), это соотношение имеет вид
(5.14)
Таким образом, синтезировав электрические принципиальные схемы всех звеньев 2-го порядка, получим схему ФНЧ n-го порядка. В качестве примера рассмотрим синтез активного ФНЧ 2-го порядка , который должен иметь два нормированных полюса передаточной функции
(5.15)
Как известно из разд.4, эти полюсы соответствуют фильтру Баттерворса 2-го порядка. Для перехода к ненормированным полюсам Р1,2 необходимо нормированные полюса домножить на значение частоты среза ωс. т.е.
(5.16)
П усть и кроме того, A0=1 . Далее из (5.14) получаем что для обеспечения
A0=1 следует выполнить условие R1=R4 .Зададимся некоторыми приемлемыми номиналами резисторов, положив их одинаковыми: R1=R3= R4=1,8 кОм, т.е.
Приравнивая вещественные части выражений (5.13) и (5.16), получаем формулу для определения емкости конденсатора C2 :
,
откуда, подставляя известные значения величин, находим C2=1.18мкФ. Чтобы найти емкость конденсатора С5, следует приравнять мнимые части выражений (5.13) и (5.16):
Решив это уравнение, находим C5= 0,26мкФ.
Принципиальная схема синтезированного активного фильтра изображена на рис. 10.
1.8 кОм 0.26 мкФ
1.8 кОм 1.8 кОм
1.18 мкФ
Последовательность соединения ФНЧ 2-го порядка, обеспечивающих формирование требуемой передаточной функции, может быть произвольной, если нет дополнительных условий при проектировании фильтра, например: обеспечение максимального динамического диапазона, обеспечение минимальных потерь в полосе пропускания, обеспечение минимальной чувствительности передаточной функции и т.д. Однако при наличии этих условий последовательность включения звеньев уже не может быть произвольной и кроме этого, не может быть произвольным распределение общего коэффициента усиления А0 (мы приняли ранее, что все усиление реализуется в последнем звене (см. (5.5)).
Эти вопросы выходят за рамки данных методических указаний. С ними можно самостоятельно ознакомится в [3.4].