2.3. Методы нахождений обобщенной ранжировки решений

Пусть в рассматриваемой проблеме участвуют 3 эксперта, выделены 2 ситуации, 5 целей и 3 решения. Тогда в результате экспертного оценивания будет представлено 6 таблиц ранжировок, размерностью 3х5: каждый из 3-х экспертов представит две таблицы, характеризующие его предпочтения в условиях каждой ситуации. Эти 6 таблиц содержат 30 ранжировок размерностью 3. Теперь задача сводится к определению такой обобщенной ранжировки, которая была бы согласована относительно всего множества рассматриваемых оценочных признаков: целей (критериев) с учетом их весов, экспертов с учетом весов, отражающих их компетентность, ситуаций с учетом вероятностей. В данном случае необходимо найти обобщенную ранжировку как свертку из 30 ранжировок. Существуют различные математические алгоритмы нахождения обобщенных ранжировок. Рассмотрим основные из них.

2.3.1. Принципы суммы рангов и гарантированного результата

Если не учитывать весовые коэффициенты (веса целей, вероятности ситуаций, веса экспертов), т.е. предполагать, что все оцениваемые параметры имеют одинаковые приоритеты, то можно использовать принципы суммы рангов и гарантированного результата. В первом случае в общей таблице, составленной из всех таблиц оценок, представленных экспертами, по строчкам суммируются ранги. Затем по величинам этих сумм осуществляется ранжирование решений. Самой меньшей сумме соответствует наиболее приоритетное решение, следующей по величине суме – решение, которое менее приоритетно, чем предыдущее, но более приоритетно, чем все остальные. Решения, имеющие одинаковые суммы рангов, будут эквивалентны, и иметь одинаковый ранг.

Рассмотрим таблицу ранжировок, полученную объединением ранжировок, содержащихся в табл.2.3 и2.4 (табл.2.5).

Табл.2.5. Объединенная таблица ранжировок, представленных двумя экспертами:

Сумма рангов Наибольший ранг

А₁ 1 2 1 3 2 2 1 2 2 2 18 3

А₂ 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 16 2

А₃ 3 2 3 1 1 3 2 3 2 2 22 3

Из табл.2.5 видно, что суммы рангов для А₁-18, А₂-16, А₃ - 22. Отсюда обобщенная ранжировка будет иметь вид: А₂>А₁>А₃ или, если записать ее в виде последовательности рангов, - (2 1 3).

Принцип гарантированного результата соответствует осторожной стратегии поведения. Его можно назвать критерием пессимизма. В каждой строке общей таблицы выбирается худшее предпочтение (наибольшее значение ранга). Далее среди худших оценок выбирается минимальное значение и соответствующее ему решение представляется в качестве наиболее наиболее предпочтительного. Другими словами, из максимальных по строкам таблицы рангов выбирается минимальное значение (т. е. реализуется принцип минимакса). Так, в табл. 2.5 в 1–ой строке минимальное значение ранга -3, во 2-ой – 2, в 3-ей – 3. Отсюда по принципу гарантированного результата наиболее предпочтительным будет решение А₂.обобщенная ранжировка будет иметь вид :А2 >А1 ~ А3 или (2 1 2).

2.4. Метод медианы

Под медианной ранжировкой понимается обобщенная ранжировка, которая согласуется со всеми ранжировками, полученными в результате экспертного оценивания. При этом учитывается все весовые коэффициенты и вероятности, которые фигурируют при описании проблемной ситуации. Для определения медианной ранжировки введем понятие матрицы парных сравнений.

Каждая ранжировка решений относительно некоторой цели (r(А₁), r(А₂),…r(А₃)) может быть представлена в виде матрицы парных сравнений по следующему правилу:

где r (А_i)- значение ранга решения Аi.

Например, ранжировку трех решений по цели С₂ (табл.2.3)

– (2 1 2) трансформируем по правилу (2.4) в матрицу парных сравнений. Данная ранжировка записана в виде строки:

(r (A₁) r(A₂) r(A₃)) = (2 1 2)

Сравнивая r(A₁) с рангами всех решений, получим:

r(A₁) = r(A₁), r(A₁)<r(A2), r(A_!) = r(A₃)

Отсюда x₁₁=1, x₁₂=0, x₁₃=1.

Аналогично, сравнивая r (A₂) и r(A₃), найдем:

x₂₁ = 1, x₂₂ = 1, x₂₃ = 1, x₃₁=1, x₃₂ = 0, x₃₃ = 1.

Отсюда матрица парных сравнений, соответствующая ранжировке (2 1 2), будет иметь вид:

Заметим, что на главной диагонали матрица должны всегда стоять единицы, т.к. r (А_i) = r (А_i).

Количество единиц в матрице парных сравнений можно интерпретировать как общее число голосовавших, число единиц в каждой строчке - как количество голосов, поданных за то, что наиболее предпочтительным является соответствующее решение. В данном случае всего голосов было 7, из них 2 было подано за А₁, 3 – за А₂ и 2 - за А₃.

Т.о., все ранжировки, которые рассматриваются при анализе проблемной ситуации можно рассматривать как совокупность матриц парных сравнений. Можно ввести понятие меры сходства или различия (расстояния) между ранжировками как число несовпадений элементов с одинаковыми координатами (i,j), соответствующих матриц парных сравнений.

Например, расстояние между ранжировками относительно целей С₁ и С₂ в табл.2.3 будет равно числу несовпадений элементов

матриц:

С₁ С₂

, , т.е.-3.

Если число несовпадений элементов искомой медианной матрицы и матрицы, соответствующей некоторой ранжировке, умножить на нормированный весовой коэффициент этой ранжировки (например, вес цели), то получим взвешенное расстояние между этими ранжировками.

Очевидно, ранжировке, согласованной относительно всех целей, ситуаций и экспертов с учетом весовых коэффициентов, будет соответствовать некоторая средняя матрица парных сравнений. Эта матрица (ранжировка) должна удовлетворять свойству медианы, т.е. суммарное взвешенное расстояние от этой матрицы до всех рассматриваемых матриц парных сравнений (ранжировок) должно быть минимальным.

В случае, если результаты измерений были бы представлены несколькими экспертами, то весовые коэффициенты каждой матрицы парных сравнений вычислялись бы как произведение веса цели, вероятности ситуации и веса эксперта. Т.к. отдельные суммы весов целей, вероятностей ситуаций и весов экспертов равны 1, то сумма обобщенных весовых коэффициентов также будет равна 1. Условно говоря, медианная ранжировка характеризует как бы центр тяжести мнений относительно предпочтительности решений, отраженных в каждой ранжировка с учетом ее обобщенного веса. Медиана будет «ближе» к ранжировка, имеющим большие веса и «дальше» от ранжировок с меньшими весами. Можно показать, что для нахождения медианной матрицы парных сравнений необходимо реализовать определенную процедуру вычислений.

Проиллюстрируем ее на рассматриваемом примере. Пусть экспертное оценивание проводили два эксперта. Субъективные измерения 1-го эксперта в условиях 1-ой ситуации (возможность экспортных поставок) представлены в табл.2.3, а оценки в условиях 2-ой ситуации (невозможность экспортных поставок) – в табл.2.6:

Табл.2.6. Ранжировки решений и веса целей в условиях 2-ой ситуации (1-ый эксперт).

С₁ С₂ С₃ С₄ С₅

Y1 2 1 3 1 1

Y2 1 2 2 2 1

Y3 3 2 1 3 2

0,1 0,1 0,3 0,2 0,3

Пусть вероятности 1-ой и 2-ой ситуаций для1-го эксперта будут соответственно 0,4 и 0,6. Для всех ранжировок построим матрицы парных сравнений (табл.2.3 и 2.6 соответственно):

Ситуация 1

С₁ С₂ С₃ С₄ С₅

, , , , ;

Ситуация 2

С₁ С₂ С₃ С₄ С₅

, , , ,

Аналогичную процедуру проведем для 2-го эксперта. Пусть его оценки предпочтений в условиях 1-ой ситуации представляются в табл.2.4, а в условиях 2-ой ситуации -в табл.2.7.

Табл.2.7. Ранжировки решений и веса целей в условиях 2-ой ситуации (2-ой эксперт)

С₁ С₂ С₃ С₄ С₅

А₁ 1 2 2 2 2

А₂ 2 1 1 2 1

А₃ 2 3 2 1 3

0,1 0,3 0,2 0,2 0,2

Для всех ранжировок, представленных соответственно в табл.2.4. и 2.7., вычислим матрицы парных сравнений:

Ситуация 1

С₁ С₂ С₃ С₄ С₅

, , , , ;

Ситуация 2

С₁ С₂ С₃ С₄ С₅

, , , , .

Пусть обе ситуации для второго эксперта равновероятны, т.е. равны 0,5.

Компетентность 1-го эксперта (вес) была оценена как 0,6, а компетентность 2-го 0.4.

Вычислим обобщенные весовые коэффициенты для каждой матрицы парных сравнений, т.е. найдем произведение соответствующих веса цели, вероятности ситуации и веса эксперта. Например, для матрицы, соответствующей дели С₁ в условиях 1-ой ситуации (оценка 1-го эксперта) коэффициент определяется как произведение: 0,15 · 0,4 · 0,6 = 0,036. Очевидно, сумма всех весовых коэффициентов, полученных таким образом, будет равна 1.

Умножим каждую матрицу на ее весовой коэффициент и сложим полученные матрицы:

0,036 · + 0,036 · + 0,024 · + 0,024 · +

0,12 · + 0,036 · + 0,036 · + 0,108 · +

0,72 · + 0,108 · + 0,04 · + 0,04 · +

0,02 · + 0,04 · + 0,06 · + 0,02 · +

0,06 · + 0,04 · + 0,04 · + 0,04 · =

= (2. 8)

Суммарная матрица преобразуется в медианную матрицу парных сравнений по следующему правилу: каждый элемент матрицы сравнивается с пороговым значением 1/2; если он больше или равен 1/2, то заменяется на 1, в противном случае - на 0.

Отсюда полученная суммарная матрица (2.8) трансформируется в медианную матрицу парных сравнений:

(2.9)

Преобразуем матрицу (2.9) в медианную ранжировку. Для этого найдем суммы элементов в каждой строке (количество единиц) и разделим их на общее количество единиц в матрице:

1-ая строка (А₁) - 2/7, 2-ая строка (А₂) – 3/7; 3-я строка (А₃) – 2/7.

Вычисленные коэффициенты можно рассматривать как удельные веса важности соответствующих решений. Последовательность весов (2/7; 3/7; 2/7) легко преобразовать в последовательность рангов, т.е. в ранжировку- (2 1 2), обладающую свойством медианы. Таким образом, наиболее предпочтительным будет решение А₂, а решение А₁и А₃ – эквивалентны (А₂ > А₁ ~ А₃).

2.5. Доминируемые решения

При обработке результатов экспертного опроса следует обратить внимание на наличие доминируемых решений. Например, пусть результаты вычислений субъективных измерений задаются табл.2.8

Табл.2.8. Пример с доминруемым решением

С₁ С₂ С₃

А₁ 2 3 3

А₂ 1 2 1

А₃ 2 1 1

Очевидно, решение А₁ доминируется решениями А₂ и А₃: по критерию С₁ - А₂ > А₁, А₁ ~ А₃; по критерию С₂ - А₂ > А₁, А₃ > А₁. Если какое-либо решение доминируется хотя бы по одному критерию другим решением, а по всем остальным критериям эти решения эквивалентны, то такое решение считается неэффективным. Нет смысла его рассматривать при дальнейшем анализе. В то же время решения А₂ и А₃ - не сравнимы между собой, т.к., например, А₂ > А₃ по критерию С₁ и, в то же время, А₃ > А₂ по критерию С₂. Эти решения составляют эффективное множество решений и дальнейший выбор должен осуществляться среди них. На практике начинать обработку результатов следует с выделения эффективного множества. Затем, используя различные принципы, находят обобщенные ранжировки эффективных решений. Если окажется, что какое-либо решение при всех способах вычислений имеет ранг 1, то это может служить существенным аргументом в пользу снижения риска при выборе данного решения.

Литература

1. Р. Акоф, М. Сосиени. Основы исследования операций. – М.: Мир. – 1971.

2. Евланов Л. Г. Теория и практика принятия решений. – М.; Экономика, 1984.

3. Голубков, Е. П. Технология принятия решений управленческих решений. – М.: «Дело и Сервис», 2005.

4. Сулицкий В. Н. Методы статистического анализа в управлении. – М.: Дело, 2002.

5. М. Эддоус, Р. Сэнсфилд. Методы принятия решений. – М.: ЮНИТИ, 1997.