Доведення.

Для доведення теореми розглянемо квадрат, довжина сторони якого складає 1 одиницю (див. малюнок № 5.2.).

За умовою АВ=1, ВС=1. Припустимо, що довжина діагоналі АС дорівнює нескоротному дробу , тобто раціональному числу. За теоремою Піфагора із трикутника АВС маємо: АС²=АВ²+ВС² . Тоді ( )²=2. Отже, p²=2q². Права частина останньої рівності ділиться націло на 2, а тому і ліва частина p² 2. Це означає, що число p – парне, тобто p=2p₁. Таким чином, 4p₁²=2q². Звідси, 2p₁²=q², тобто число q – парне і q=2q₁. Отже, тобто дріб - скоротний, а це суперечить умові. Ця суперечність говорить про те, що наше припущення про раціональність числа було хибним. Таким чином, якщо довжини сторін квадрата виражаються раціональними числами, то довжина його діагоналі не виражається раціональним числом. Отже, діагональ квадрата несумірна з його стороною. Теорему доведено.

В С

А Д

Малюнок № 5.2.

Із доведеної теореми випливає, що, по-перше, існують відрізки, довжина яких не виражається раціональним числом, по-друге, не існує раціонального числа, квадрат якого дорівнює 2, тобто рівняння х²=2 в множині раціональних чисел немає розв'язку. Отже виникає потреба в розширенні множини раціональних чисел, причому повинні виконуватися наступні вимоги: 1) довжина будь-якого відрізка повинна виражатися цим числом; 2) у новій числовій множині завжди повинно мати розв'язок рівняння виду хⁿ=а, де а 0; 3) множина раціональних чисел повинна входити в нову числову множину.

2. Додатні ірраціональні числа. Невід’ємні дійсні числа.

2. Ми вже розглянули звичайні та десяткові дроби та виявили, що між ними існує певний зв'язок, а саме: кожний десятковий дріб можна перетворити у звичайний; не кожний звичайний дріб можна перетворити у скінченний десятковий дріб (коли це не можна зробити?!). Як скінченні, так і нескінченні періодичні десяткові дроби належать до множини Q раціональних чисел, яку можна також називати множиною періодичних десяткових дробів. З іншого боку, розглядаючи процес вимірювання величин чи розв’язування рівнянь виду х²=а, ми отримуємо числа, які не є періодичними десятковими дробами. У вказаних випадках можуть з’являтися нескінченні неперіодичні десяткові дроби, наприклад: 0,10100100010000…, √2, √3,√5, π, е тощо. Отже, такі дроби ми можемо отримати при вимірюванні несумірних відрізків і при розв'язанні рівнянь виду х^2к=а, де а 0. Виявляється, що нескінченні неперіодичні десяткові дроби зображують числа, які не належать до множини раціональних чисел. Це числа нової природи. Таким чином, постає питання розширення множини раціональних чисел, яке слід провести, дотримуючись наступних умов:

• до множини раціональних чисел приєднаємо числа нової природи – ірраціональні числа;

• визначимо арифметичні операції додавання, віднімання, множення і ділення над ірраціональними числами так, щоб вони не суперечили правилам виконання дій над раціональними числами;

• поширимо основні закони (властивості) дій над раціональними числами на числа нової природи;

• поставимо завдання про можливість знаходження розв’язків рівняння виду хⁿ=а, де n і a - будь-які натуральні числа;

• поставимо вимогу про можливість знаходження спільної міри для будь-яких однорідних величин.

Для виконання поставлених завдань введемо означення понять, які відносяться до нової числової множини.

Означення: нескінченний неперіодичний десятковий дріб називається ірраціональним числом.

Прикладом таких чисел є наступні: Наприклад: 2,3, =3,141592…, 2,212212221… тощо. Хоча в означенні нічого не говориться про існування таких чисел, але, доводячи теорему про несумірність сторони квадрата з його діагоналлю, ми фактично довели теорему про існування ірраціональних чисел. Якщо до множини невід’ємних раціональних чисел ми приєднаємо додатні ірраціональні числа, то отримаємо множину невід’ємних дійсних чисел, яку прийнято позначати R₀. якщо ж розглянути ще й від’ємні ірраціональні числа, то матимемо справу з множиною дійсних чисел.

Означення: об'єднання множини Q раціональних чисел з множиною додатних і від'ємних ірраціональних чисел називають множиною дійсних чисел.

Множину дійсних чисел прийнято позначати R. Таким чином, можна записати таке співвідношення між відомими нам числовими множинами: RQZN або NZQR, яке можна зобразити за допомогою кругів Ейлера так, як це зроблено на діаграмі № 5.2.