Постановка задачи линейного программирования

Математическая модель задачи линейного программирования в скалярной форме имеет вид:

, (1)

(2)

(3)

Записанная математическая модель задачи состоит из следующих элементов.

1. Целевая функция (1).

2. Ограничения задачи (2) – ограничения в виде математических соотношений (уравнений или неравенств).

3. Условия неотрицательности переменных (3).

Пример задачи линейного программирования:

Математическую модель задачи линейного программирования можно получить из эмпирической постановки экономической задачи в текстовом виде. Для этого необходимо выполнить следующие этапы.

1. Ввести переменные задачи линейного программирования , числовые значения которых однозначно характеризуют рассматриваемое явление или процесс. Переменные задачи обычно отражают некоторые реальные параметры рассматриваемой экономической системы, которые, как правило, не могут принимать отрицательных значений, поэтому на соответствующие переменные должны быть наложены условия неотрицательности (3).

2. Выразить взаимосвязи между введенными переменными в виде математических соотношений (уравнений, неравенств) и записать систему ограничений (2). Данные соотношения могут быть получены, например, из условия ограниченности объемов используемых ресурсов.

3. Записать критерий оптимальности в виде целевой функции (3). Она должна количественно отражать значение цели в зависимости от значений переменных . Целевой функцией может выступать, например, прибыль предприятия, количество производимой продукции, издержки производства.

4. Составить математическую формулировку задачи отыскания наибольшего или наименьшего значения целевой функции при условии выполнения наложенных ограничений.

5. Если целевая функция и ограничения поставленной задачи линейные, то задача является задачей линейного программирования (ЗЛП).

Пример построения моделей экономических задач

Пример 1. Кондитерская фабрика для производства трех видов карамели , и использует три вида основного сырья: сахарный песок, патоку и фруктовое пюре. Нормы расхода сырья каждого вида на производство 1 т карамели данного вида приведены в таблице. В ней же указано общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано фабрикой, а также прибыль от реализации 1 т карамели данного вида. Найти план производства карамели, обеспечивающий максимальную прибыль от ее реализации.

Вид сырья	Нормы расхода сырья (т) на производство 1 т карамели			Общее количество сырья
Сахарный песок	0,8	0,5	0,6	800
Патока	0,4	0,4	0,3	600
Фруктовое пюре	–	0,1	0,1	120
Прибыль от реализации 1 т, тыс.грн.	108	112	126	–

Решение. Составим математическую модель данной задачи.

Пусть будет изготовлено (т) карамели , (т) карамели и (т) карамели . По смыслу задачи , .

Тогда сахарного песка будет затрачено (т), что по условию задачи не должно превышать 800 т, отсюда .

Аналогично рассуждая относительно затрат патоки и фруктового пюре, получим: и .

Критерием оптимальности плана производства карамели является получаемая прибыль, которая равна: , и должна быть максимизирована.

Таким образом, математическая модель исходной задачи имеет вид:

Полученная задача является задачей линейного программирования.