§5 Криволінійні інтеграли.

1. Криволінійний інтеграл I роду.

Нехай існує плоска крива рівняння , якої

- диф. дуги, якщо , то

>0, та , якщо , то <0 та .

Якщо - функція, неперервна на кривій К, то під її криволінійним інтегралом I роду, взятим по кривій К розуміють інтеграл

(1)

Якщо К завдана рівнянням , маємо

Нехай К- матеріальна, тобто має масу і - якась дуга кривої К, якій належить т.М, а - маса цієї дуги. Тоді частка - середня густина дуги

т.б. границя середньої густини дуги за умовою, що дуга в т.М, її називають лінійною густиною дуги в т.М

- маса нескінченно малої дуги таким чином.

О зн.1 (Фізичний зміст інтегралу I роду)

- маса лінії

Властивості 1. При зміні напрямку інтегрування криволінійного інтегралу I роду не змінює свого значення

2. Якщо крива інтегрування , то

3. 

4. Про середнє , де L – довжина

Приклад:

Знайти масу півкола , якщо лінійна густина в т.М пропорційна ординаті Y.

Рішення: t – полярний кут, - параметри рівнянння кола

1

M(X,Y)

t

0 1

,

к - коефіцієнт пропорційності.

=2к

Приклад 2

Рішення :

=

2.Криволінійний інтеграл II роду.

Нехай - гладка, або кусково-гладка функція та

- пара функцій неперервних на кривій К. Так як

О значення 2 Під криволінійним інтегралом II роду від 2-х функцій Х та

У, взятими по кривій К розуміють інтеграл

(2)

Якщо шлях К завдається рівнянням , то (2) приймає вигляд:

Аналогічно, якщо , то

Властивості 1) При зміні шляху інтеграл (2) міняє знак

2) Якщо , то

Приклад вздовж :

1) прямої ОА

2) от А – парабола С вершина О та ОУ

3) ОВА – ламана.

4) ОСА – ламана.

C2 A(1;2)

0 1B

Рішення 1) Рівняння ОА :

2)Рівняння параболи: , знайдемо к

3)

ОВ

ВА

4)

3.Фізичний зміст криволінійного інтегралу II роду.

Нехай змінна сила, яка неперервно змінюється та

- шлях К , пройдений точкою прикладення, де

Y K

F

Ds

M(X,Y) M(x+dx;y+dy)

0 X

так як нескінченно малому шляху неперервну силу можна вважати постійною, то елементарна робота сили дорівнює

(3) , інтегруючи його по К отримаємо

О зн.3

Криволінійний інтеграл II роду є робота змінної сили вздовж шляху інтегрування, проекціями якої на координатні осі являються відповідні коефіцієнти при змінних диференціалах.

Приклад : Знайти А змін. , точки прикладення якої описується параболою ОВ

4 M2

M1 F2

F1

0 2

4.Умови незалежності криволінійного інтегралу II роду

від шляху інтегрування.

Нехай АВ - К – напрямлена крива в просторі з початком А і кінцем В, тоді усі дотичні до АВ також являються напрямленими прямими. Нехай кути, які утворюють дотичні до АВ з вісями координат … Вони є ф-ні координати точки дотику М. Візьмемо на АВ елементарну дугу і будемо вважати її прямолінійною . Тобто - вектор з проекціями напрямлений, так як крива АВ

Тоді - формула зв’язку I та II роду.

О зн.4 Вважається, що інтеграл не залежить від форми кривої, якщо інтеграл вздовж будь-якої кривої, що з‘єднується цими точками має одне і теж саме значення.

M

B

N

A

0

Теорема Для того, щоб криволінійний інтеграл не залежав від форми кривої необхідно і достатньо щоб виконувалось співвідношення

Обчислювання цього інтегралу спрощується, якщо за шлях інтегрування взяти ламану, ланки якої паралельні координатним вісям.

Приклад Обчислити

2 B(2;2)

1

0 1 2

5.Криволінійний інтеграл увздовж замкненого контуру.

Замкнений контур маємо, коли початок і кінець кривої співпадають.

Для визначення напрямку інтегралу задається додатковий напрям проти руху годинникової стрілки.

B

A

У випадку просторового контуру додатний напрям задається, коли при русі поверхня залишається зліва.

Позначається такий інтеграл