- •Часть 1
- •Глава 1. Кинематика.
- •§1. Механическое движение. Система отсчета.
- •§2. Радиус вектор, перемещение, траектория, путь.
- •§3.Ускорение. Нормальное и тангенциальное
- •§3А. Вывод формул для тангенциального и нормального ускорений.
- •§4. Вращательное движение. Угловая скорость. Угловое
- •Глава 2. Динамика
- •§5. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы
- •§6 Масса. Второй закон Ньютона. Импульс.
- •§7. Второй закон Ньютона для системы материальных
- •§8. Момент силы и момент импульса относительно точки
- •§9. Момент импульса и момент инерции тела
- •Глава 3. Работа. Энергия
- •§ 10. Работа. Работа при вращательном движении. Мощ-
- •§ 12. Поле сил. Консервативные силы. Потенциальная
- •§ 13 Связь между консервативной силой
- •§14. Работа неконсервативных сил и механическая
- •Глава 4. Законы сохранения в механике
- •§15. Закон сохранения импульса. Закон сохранения
- •§ 16. Условие равновесия механической системы. По-
- •Глава 5. Колебания. Волны
- •§ 17. Колебания. Дифференциальное уравнение
- •§ 18. Скорость и ускорение при гармонических
- •§ 19. Сложение одинаково направленных колебаний
- •§ 20. Маятники. Пружинный, физический,
- •§ 21. Затухающие колебания.
- •§ 22. Вынужденные колебания
- •§ 23. Волны. Волны поперечные и продольные. Волновая
- •§ 24. Принцип относительности Галилея
- •§ 25. Постулаты Эйнштейна.
- •§ 26. Основные понятия релятивистской динамики
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
по физике
Часть 1
Механика, колебания, волны
1
Математическое введение
ax + bx + c = 0 ; x1,2 =
1.2. Длина окружности: .
Площадь круга: S = 4ππ = πd2 .
4
Объем шара:
Длина дуги окружности: l = j × R
2
Площадь сектора:
Угол j выражается в радианах.
1.3. Приращение величины x:
: т.е. разность между конечным и начальным значением
х. Убыль величины x : - ∆x = x - x
1.4. a1 + a2 + .....ai + ......an = , где знак
i=1
есть сумма значений величин по I от 1 до n
1.5. - отношение противолежащего катета к
гипотенузе;
cosa = - отношение прилежащего катета к гипотенузе;
- отношение прилежащего к противолежащему катету;
ctga = ,
sin(-a ) = -sina ;cos(-a ) = cosa
2
tg(-α) = -tgα ; ctg(-α) = -ctgα
sin00 = 0;sin900 = 1;sin1800 = 0;
cos00 = 1;cos900 = 1;cos1800 = -1
1.6 cos(900-a) = sina ; cos(900+a) = -sina
cos(1800-a) = -cosa ; cos(1800+a) = -cosa
cos(2700-a) = -sina ; cos(2700+a) = sina
cos(3600-a) = cosa ; cos(3600+a) = -cosa
1.7. Векторы – величины, характеризующиеся численным значением, направ-
лением и складывающиеся по правилу параллелограмма (треугольника,
многоугольника). Модуль вектора - численное значение вектора: a = a
r
1.8. Сложение векторов: с = а + b ; c = (a + b2 + 2abcosa)1 2
r
Вычитание векторов: c = a - b
r
b a a
1.10. a = aea - единичный вектор или орт вектора , который по
r
направлению совпадает с вектором .
ea ↑↑ а ea = 1
1.11. ◉ - вектор
3
пендикулярно плоскости рисунка и к “нам”
Ä - вектор направлен перпендикулярно плоскости рисунка и от
“нас”.
1.12. Разложение вектора на составляющие:
a = a + a .
В общем случае:
a = a + a + az ,
где ax , a , az - составляю-
щие вектора a вдоль коорди-
нат x, y, z. Составляющие вектора являются векторами.
1.13. Проекции вектора: a = acosα ; a = acosβ ;
a - проекции вектора на координатные оси x, y; a и b - углы
между вектором a и положительными полуосями a = a ex + a ey ;
a = (a + a )1 2
В общем случае:
a = a ex + a ey + a ez
a = (a2 + a2 + a2)1/ 2
где ex , ey , ez - единичные векторы
(орты) координаты осей x, y, z ;
ex = ey = ez = 1
x
1.14. Скалярное произведение двух
r
r
b
ba - проекции вектора b на вектор a .
r r
а b = b a - скалярное произведение двух векторов
коммутативно, т. е. не зависит от порядка располо-
жения сомножителей.
a = aa = aa cos 0 = a
4
1.15. Векторное произведение двух векторов:
r r r
Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы a и b .
Направление вектора (векторного произведения) определяют по пра-
вилу правого винта (буравчика): буравчик располагают перпендикулярно
плоскости, в которой лежат векторы a b и вращают от первого сомно-
жителя (вектор a ) ко второму (вектор b ) по кратчайшему пути. Поступа-
тельное движение буравчика совпадает с направлением вектора .
Производная.
y = f (x) ; ∆x и ∆y приращение аргумента x и функции y.
Dx ® 0 обозначают dx – бесконечно малое приращение аргумента, Dy ®
0 обозначают dy - бесконечно малое приращение функции.
∆y
равно тангенсу угла наклона секущей.
∆x
5
Производная от y: = (= y')
При Dx ® 0 и Dy ® 0 секущая переходит в касательную. Следовательно:
графически производная равна тангенсу угла наклона касательной:
dy/dx = tgα
Для дальнейшего отметим, что в физике производные не принято
обозначать значком «штрих: у’». Есть специальные обозначения
только для функции времени. Если z = f (t) , то производная по времени
обозначается следующим образом: z = (= z').
2
Вторая производная: .
1.17. Производные: постоянной, произведения постоянной на функцию,
суммы (разности), произведения, частного.
А. Производная от постоянной величины равна 0, т.е. если y = c, где
с = const , то y’=0
Б. Постоянный множитель можно вынести за знак производной, т.е. если
y = cu (x), где c = const, то y’=c×u’(x).
В. Производная от суммы (разности) функций равна соответствующей
сумме (разности) производных этих функций, т.е. если
y = u(x)+ v(x)+ w(x) , то” y = u (x) + v (x) + w (x).
Г. Если y = u(x)×v(x) , то” y = u (x)×v(x) + u(x)×v (x)
u(x) u (x) × v(x) - u(x) × v (x)
v(x)
1.18. Некоторые табличные производные:
(xn ) = nxn-1 , (ex ) = ex , (a ) = a ln a
, (cos x) = -sinx , (sinx) = cosx
, (ctgx) = -
Если a = const , то (cosax) = -asinax , (sinax) = acosax.
6
1.19. Частная производная. Если z есть функция двух переменных x и y,
то частной производной по x от функции z = f (x, y) называется произ-
водная по x , вычисленная в предположении, что y есть постоянная вели-
чина. Аналогично определяется частная производная по y.
z = x y3 , то” = 2xy3 , = 3x2y2
1.20. Дифференциал функции.
Если , где dy - дифференциал функции
y = f (x) – т.е. бесконечно малое приращение функции при бесконечно
малом приращение аргумента.
S » Dxi - площадь ограниче-
ния кривой y(x) на участке от a до b.
S = Dxi ⇒
Dxi ®0
это есть интеграл
Первообразная F(x) для функции
y(x):
b
y(x)dx = F(x) = F(b) - F(a)
b
= ln x = ln b - ln a = ln
1.22. Интеграл от суммы (разности) функции равен сумме (разности) ин-
тегралов, т.е.
∫[f (x) + f2 (x) - f3(x)]× dx = ∫f (x)dx + ∫f (x)dx - ∫f (x)dx
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.
c × f (x)dx = c∫ f (x)dx , где с - постоянная величина.
Некоторые табличные интегралы.
∫dx = x + const ; ∫
7
n+1
x dx = + const; где n ¹-1;
n + 1
∫e dx = ex + const
∫cos x × dx = sin x + const ; ∫sin x × dx = - cos x + const
8