Министерство образования и науки Российской Федерации
ФГБОУ ВПО « Магнитогорский государственный технический
университет им. Г.И. Носова»
Институт энергетики и автоматики
Кафедра теплотехнических
и энергетических систем
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ В ГИДРОГАЗОДИНАМИКЕ
Методические указания по выполнению
лабораторной работы для студентов всех
специальностей, изучающих теплотехнические
дисциплины
Магнитогорск
2012
Составители: Ю. И. Тартаковский
Т.П. Семенова
М.А. Лемешко
Построение линии пьезометрического давления. Методические указания по выполнению лабораторной работы для студентов всех специальностей, изучающих теплотехнические дисциплины . Магнитогорск: ГОУ ВПО «МГТУ», 2012. 15 с.
Рецензент
© Ю. И. Тартаковский,
Т.П.Семенова,
М.А. Лемешко, 2012
Цель работы
Исследование экспериментальным путем основ теории подобия в гидрогазодинамике
Используемое оборудование
Стационарный стенд.
Теоретическая часть
Математические уравнения, описывающие основные закономерности движения жидкостей и газов не позволяют получить результаты для подавляющего большинства случаев важных в практике, поэтому эксперимент в механике жидкостей и газов иногда может быть единственным доступным способом изучения гидродинамических явлений .
Одним из основных методов эмпирического исследования гидродинамических процессов является их моделирование в лабораторных условиях , где как правило , исследуемые явления воспроизводятся на модели в совершенно другом масштабе , чем в натуральных условиях . Основой переноса результатов моделирования на натуральные условия является теория подобия .
В основе теории подобия гидродинамических явлений лежат общие условия механического подобия . Явления считаются механически подобными , если в них :
одинаково отношение всех геометрических элементов – размеров . расстояний . углов . перемещений и т.п. ;
одинаково отношение кинематических параметров в сходственных точках ;
одинаково соотношение сил , действующих в сходственных точках и соответственных направлениях .
1
Связь между любыми соответствующими геометрическими параметрами натурального и модельного потоков имеют вид:
, (1)
где индекс “н” – относится к геометрическим размерам
натурального потока ;
индекс “м” – обозначает размеры модели ;
- линейный масштаб или константа геометрического
подобия.
Кинематическое подобие состоит в том, что в любых сходственных точках отношение скоростей и проекций скоростей одинаково и равно масштабу скоростей , т.е. выполняется условие
. (2)
Теоретический анализ показывает, что из условия кинематического подобия автоматически следует геометрическое подобие линий тока, а для установившегося потока это условие означает и подобие траекторий.
Динамическое подобие состоит в том, что все силы одинаковой природы и их проекции, действующие на любую пару сходственных элементов, отличаются друг от друга в натуральном потоке модели постоянным масштабом , т.е. должны действовать одинаковые по природе силы и при этом выполняются условия
. (3)
Кинематическое и динамическое подобие могут иметь место только при наличии геометрического подобия.
Теория подобия показывает, что все гидродинамически подобные потоки можно описать абсолютно одинаковыми уравнениями и зависимостями, для приведения математического описания к единой форме все геометрические , кинематические и динамические параметры выражают в относительных единицах . Для этого в качестве масштаба измерения в каждом из потоков выбирается некоторый характерный размер ℓ0 , скорость υ0 , время t0 и т.д.
В гидродинамически подобных потоках, где все безразмерные параметры одинаковы, соответственно и все уравнения, представленные в безразмерном виде должны быть одинаковы.
Рассмотрим подробнее динамическое подобие. Движение частиц жидкости , как известно , определяется силами , действующими внутри нее :
Fоб – объемными силами ( сила тяжести , подъемная
сила);
Fд – поверхностная сила давления ;
Fин – сила инерции .
Пренебрегая силами поверхностного натяжения, составим уравнение , выражающее принцип Д’Аламбера для двух подобно перемещающихся элементарных объемов
(4)
Разделим обе части уравнения (4) на Ринτ
3
Из постулата Ньютона, касательные напряжения , действующие в жидкости равны
, Па (Н/м2) (5)
тогда сила внутреннего трения ( вязкости ) при движении жидкости
, (6)
где - элементарная площадка поверхности
соприкосновения двух слоев , м2 ;
- коэффициент динамической вязкости , Паּс ;
- скорость перемещения слоев относительно друг
друга ;
- расстояние площадки от начала координат .
Сила инерции по закону Ньютона
(7)
массу элементарного объема можно выразить
, кг (8)
ускорение , как известно ,
, м/с2 (9)
Правую часть уравнения (9) разделим и умножим нa
П
4
, (10)
т.к. ( линейный размер ) , ( коэффициент кинематической вязкости ) , то уравнение (10) можно преобразовать
, (11)
Данный безразмерный комплекс представляет собой критерий Рейнольдса , физический смысл которого указывает на отношение сил инерции в потоке жидкости к силам вязкости .
Исходя из того , что
, (12)
где - давление на площадке элементарного объема
, найдем отношение
(13)
заменим отношение его конечным значением ,
где - линейный размер
, (14)
Безразмерный комплекс представляет собой критерий Эйлера , физический смысл которого определяется как отношение сил нормального давления к силам инерции.
Приняв в качестве действующих в элементарном объеме силу тяжести
, (15)
найдем отношение
, (16)
Безразмерный комплекс представляет собой критерий Фруда, физический смысл которого определяется как отношение сил инерции к силам тяжести
, (17)
Полученные критерии , и отражают баланс действующих в жидкости сил и по своему физическому смыслу характеризуют соотношение между этими силами.
Следует заметить, что все безразмерные комплексы или числа подобия можно разделить на два вида:
определяемые – это числа, в которые входят искомые
переменные;
определяющие – это числа , целиком составленные из
независимых переменных и постоянных величин ,
входящих в условие однозначности .
Т
6
Решение гидродинамических задач аналитическим путем или в результате обобщения экспериментальных данных сводится к установлению функциональных зависимостей определяемых параметров от определяющих.
, , )
, , ) (18)
, , )
, , )
Уравнения вида (18) называются уравнениями подобия .