8. Теоремы существования. Число
Теорема 8.1.
Монотонно возрастающая и ограниченная
сверху последовательность
имеет предел и имеет место равенство
.
Следствие 8.1.
Последовательность
,
члены которой определяются равенством
,
является строго монотонно возрастающей
и ограниченной сверху. Из теоремы 8.1
следует, эта последовательность имеет
предел и обозначается символом «
»:
Число
является иррациональным и приближенно
равно
.
Следствие 8.2.
Пусть последовательность
стремится к нулю и последовательность
к бесконечности, т.е.
и
.
Тогда справедливы равенства
.
Теорема 8.2.
Монотонно убывающая и ограниченная
снизу последовательность
имеет предел и имеет место равенство
.
Теорема 8.3. Пусть все члены последовательностей , и удовлетворяют неравенствам . Тогда если последовательности и сходятся и имеют общий предел , то последовательность также сходится и имеет место равенство
.