- •Ответы к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции»
- •1. Определения.
- •1.1.1. Сформулируйте определение бесконечно малой последовательности.
- •1.1.2. Сформулируйте определение ограниченной последовательности.
- •2.1. Последовательности
- •2.1.18. Сформулируйте и докажите теорему Больцано-Вейерштрасса.
- •2.2.2. Сформулируйте и докажите теорему о пределе разности двух функций.
- •2.2.3. Сформулируйте и докажите теорему о пределе произведения двух функций.
- •2.3. Первый замечательный предел.
- •2.4. Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности сложной функции.
- •2.5. Сформулируйте и докажите теорему о существовании предела по Гейне как следствие существования предела по Коши.
- •2.6. Сформулируйте и докажите критерий Коши существования предела функции.
Ответы к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции»
1. Определения.
1.1. Последовательности
1.1.1. Сформулируйте определение бесконечно малой последовательности.
Последовательность { xn } называется бесконечно малой, если для любого положительного числа ε можно указать номер N такой, что при n≥N все элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству .
)
1.1.2. Сформулируйте определение ограниченной последовательности.
Последовательность { xn } называется ограниченной с обеих сторон или просто ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т.е. если существуют числа a и b такие, что любой элемент xn этой последовательности удовлетворяет неравенствам:
Если последовательность { xn } ограничена a и b , то все элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству , где с – максимальное из двух чисел и .
1.1.3. Сформулируйте определение последовательности ограниченной сверху.
Последовательность { xn } называется ограниченной сверху, если существует такое вещественное число b , что каждый элемент xn последовательности { xn } удовлетворяет неравенству xn≤b.
При этом число b называется верхней гранью последовательности { xn }, а неравенство xn≤b называется условием ограниченности последовательности сверху.
Точная верхняя грань :
1.1.4. Сформулируйте определение последовательности ограниченной снизу.
Последовательность { xn } называется ограниченной снизу, если существует такое вещественное число a , что каждый элемент xn последовательности { xn } удовлетворяет неравенству xn≥a.
При этом число a называется нижней гранью последовательности { xn }, а неравенство xn≥a называется условием ограниченности последовательности снизу.
Точная нижняя грань : a
1.1.5. Сформулируйте определение неограниченной последовательности.
Последовательность { xn } называется неограниченной, если для любого положительного числа с найдется элемент xn этой последовательности, удовлетворяющий неравенству
1.1.6. Сформулируйте определение бесконечно большой последовательности.
Последовательность { xn } называется бесконечно большой, если для любого положительного числа М можно указать номер N такой, что при n≥N все элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству .
1.1.7. Сформулируйте определение сходящейся последовательности.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.
1.1.8. Сформулируйте определение монотонной последовательности.
Невозрастающие и неубывающие последовательности называют монотонными последовательностями.
1.1.9. Сформулируйте определение предельной точки последовательности.
Число a называется предельной точкой последовательности { xn } , если в любой -окрестности точки a содержится бесконечно много членов последовательности { xn }
1.1.10. Сформулируйте определение подпоследовательности.
Пусть { xn } – некоторая числовая последовательность. Рассмотрим произвольную возрастающую последовательность целых положительных чисел k1, k2, … , kn, … Отметим, что . Выберем из { xn } члены с номерами k1, k2, … , kn , … : . Полученная числовая последовательность называется подпоследовательностью последовательности { xn }.
1.1.11. Сформулируйте определение верхнего и нижнего пределов
Последовательности.
Наибольшая (наименьшая) предельная точка последовательности { xn }, ограниченной сверху (снизу) , называется верхним (нижним) пределом этой последовательности и обозначается
1.1.12. Сформулируйте определение фундаментальной последовательности.
Если последовательность имеет конечный предел, то для нее выполняется условие Коши: . Такая последовательность называется фундаментальной
1.2. Функции
1.2.1. Сформулируйте определение предела функции.
1.2.2. Сформулируйте определение монотонной функции.
Функция y=f(x) называется неубывающей (невозрастающей) на множестве {x} , если для любых x1 и x2 из этого множества, удовлетворяющих условию x1<x2,справедливо неравенство . Неубывающие и невозрастающие функции объединяются общим наименованием монотонные функции.
1.2.3. Сформулируйте определение непрерывности функции.
Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки а. тогда f(x) называетcя непрерывной в точке а, если > 0 > 0: | f(x) - f(а) | < при | х - а | < .
1.2.4. Сформулируйте определение обратной функции.
Пусть функция у = f(x) определена на множестве Х, и пусть Y - множество её значений. Пусть каждое своё значение функция принимает только в одной точке. Поставим в соответствие каждому у Y то число х Х, для которого f(x) = у. Тем самым на множестве Y будет определена функция . Она называется обратной по отношению к функции у = f(x) и обозначается х = (у).
1.2.5. Сформулируйте определение сложной функции.
Пусть аргумент t функции y = f(t) является функцией аргумента x: t = (x). В этом случае говорят, что переменная у является сложной функцией от аргумента х или у является суперпозицией функций f и .
y = f( (x)).
1.2.6. Сформулируйте определение предела функции по Коши в точке.
Число b называется пределом f(x) в точке a, если > 0 0 такое, что
x X, 0 < | x - a | < : | f(x) - b | < .
1.2.7. Сформулируйте определение предела функции по Коши при x →∞
Число А называется пределом функции при если для любого ε>0 найдется отвечающее число k такое, что для любого x>k будет выполняться неравенство . Т.е.
1.2.8. Сформулируйте определение правого предела функции в точке по Коши.
Число b называется правым пределом функции f(x) в точке a, если > 0 0 такое, что
x X, a < x < a + : | f(x) - b | < .
1.2.9. Сформулируйте определение предела функции по Гейне.
Число b называется пределом функции f(x) в точке а если для любой сходящейся к а последовательности { xn } такой xn X, xn а, соответствующая последовательность значений функции { } сходится к b
2. Теоремы.