Вопросы для самопроверки к контрольной №3
1. Дайте определение функции и ее области определения.
2. Постройте графики функций:
у = sin х, у = cos х, у = tgx, у = arctgx , у = х ,
у
= logax,
у =аx
, у
=
.
3. Сформулируйте основные теоремы о пределах. Запишите I и II замечательные пределы.
4. Дайте определение производной. В чем заключается геометрический смысл производной?
5. Запишите формулы вычисления производной суммы, произведения и частного функций.
6. Как вычислить производную сложной функции и функции, заданной параметрически?
7. Сформулируйте правило Лопиталя для нахождения предела функции.
8. Как определить точки экстремума и точки перегиба графика функции?
9. Как найти вертикальные и наклонные асимптоты графика функции?
Контрольная работа №3 Введение в математический анализ, производная, приложения производной
1-20. Построить график функции у =f(x) преобразованием графика функции у = (x).
1.
f(x)
=
1,5 sin
;
(х)
=sin x 2.
f(x)=
;
(x)=
3. f(x) = 2(x + I)3 + 2; (x) = x3 4. f(x) = 1 + 3x-2; (x)=3x
5.
f(x)
=
;
(x) = sinx 6. f(x)
= -3sin(2x -1);
(x) = sinx
7. f(x) = 5arctgx + 2; (x) = arctgx 8. f(x) = 3ln(5x + 1); (x) = In x
9.
f(x) =
;
(x)
= 1/x 10. f(x)
= tg(3x - l) + l;
(x) =tgx
11. f(x) = 5x2 – 4x + 11; (x) =x2 12. f(x) =-3 + 2x+l; (x)=2x
1
3.
f(x)
= - lg(x + 5) + 4; (x)
= lg x 14.
f(x)
= 3x
+ 4; (x)
=
1
5.
f(x)
=
;
(x)
= 1/x 16. f(x)
= 21
- x ; (x)
=
17. f(x) =-3tg(3x +1); (x) =tgx 18. f(x) = log1/2 ( 4x +5); (x) = log1/2 x
19.
f(x)
= -arctg
; (x)
= arctgx
20.
f(x)
=
cos(2x
- );
(x)
= cos x
21-40. Найти пределы функций.
21.
a)
|
г)
|
|
||||
б)
|
д)
|
|
||||
в) |
e)
|
|
||||
22.
a)
|
г)
|
|
||||
б) |
д)
|
|
||||
в)
|
e)
|
|
||||
23.
a)
|
г)
|
|
||||
б)
|
д)
|
|
||||
в)
|
e)
|
|
||||
24.
a)
|
г)
|
|
||||
6) |
д)
|
|
||||
в) |
e)
|
|
||||
25.
a)
|
г)
|
|
||||
б)
|
д)
|
|
||||
в) |
е)
|
|
||||
26.
а)
|
г)
|
|
||||
|
|
|
||||
б)
|
д)
|
|
||||
в)
|
e)
|
|
||||
27.
a)
|
г)
|
|
||||
б)
|
д)
|
|
||||
в)
|
e)
|
|
||||
28.
а)
|
г)
|
|
||||
б)
|
д)
|
|
||||
в)
|
e)
|
|
||||
29.
а)
|
г)
|
|
||||
б)
|
д)
|
|
||||
в)
|
e)
|
|
||||
30.
a)
|
г)
|
|
||||
б)
|
д)
|
|
||||
в)
|
e) |
|
||||
31.
a)
|
г)
|
|
||||
б)
|
д)
|
|
||||
в)
|
e)
|
|
||||
32.
a)
|
г)
|
|
||||
б)
|
д)
|
|
||||
в)
|
е)
|
|
||||
33.
a)
|
г)
|
|
||||
б)
|
д) |
|
||||
в)
|
e)
|
|
||||
34.
a)
|
г)
|
|
||||
б)
|
д)
|
|
||||
в)
|
e)
|
|
||||
35.
a)
|
г)
|
|||||
б)
|
д)
|
|||||
в)
|
е)
|
|||||
36.
a)
|
г)
|
|||||
б)
|
д)
|
|||||
в) |
e)
|
|||||
37.
a)
|
г)
|
|||||
б)
|
д)
|
|||||
в) |
e)
|
|||||
38.
а)
|
в)
|
|||||
б)
|
г)
|
|||||
д)
|
e)
|
|
||||
39.
a)
|
г)
|
|
||||
б)
|
д)
|
|
||||
в)
|
e)
|
|
||||
40.
a)
|
г)
|
|
||||
б)
|
д)
|
|
||||
в)
|
e)
|
|
||||
41-60.
Найти
.
В пункте д) найти дополнительно
.
41.
а) у =
2x
б)
y=3arctg(4x+1) в)
у = (tg3x)x
г
)x3+y3
+3xy+sin y = 0 д)
42. a) y = arctg(x2) б) у = tg3 6x- e1/x в) у = (sin3x)x-1
г)
д)
43.
a)
y
= x·arcsin
б)
y =
в
) у
= (arctg2x)sinx
г)
x3/2
+
y3/2
= 1+y2
д)
44.
a)
y =
(l + ctg23x)
·e-x б)
y =
· lnx в)
y = (arcsin4x)x+1
г)
(x+y)2
+ (x-3y)2=0 д)
45. a) у = ex-4 · cosз(2x + 3) б) у = ln(ctg3x) в) у = (tg2x)sin3x
г)
x
+ у
+ arctg3x
+ ln
y
= 0 д)
46.
а) y
=
б)
у =
в)
y=(tgx)ctgx
г
)y·
ln
x
–x
·ln
y
= y2 д)
47.
а) y
= 2ctg2x б)
y
= In
в)
у = (arctgx)arcsinx
г)
(x
+ 1)3
+ (у -
1)3
+ 3xy=0 д)
48.
а) у =
2x
б)
y=7arctg(4x+1)
в) у
= (tg8x)x-3
г)
x3+y2
+2xy+sin
y
= 0 д)
49. a) y = arcсtg(5x) б) у = tg5 7x- e1/x в) у = (sin7x)2х-6
г)
д)
50.
a) y = arcsin
б)
y =
в)
у
= (arctg5x)sinx
г)
x3/2
+ y3/2
= 1 д)
51.
a)
y =
(l + ctg5x)
·e-2x б)
y =
· ln2x в)
y = (arcsin7x)x-3
г)
(x+y)3
+ (x-3y)3=0
д)
52. a) у = ex-7 · cos4(3x + 7) б) у = ln(tg8x) в) у = (сtg5x)sin4x
г)
x
+ у
+ arctg7x
+ ln2
y
= 0 д)
53.
а) y
=
б)
у =
в)
y=(сtgx)tg2x
г)
y·ln
2x
–x
·ln
5y
= y3 д)
54.
а) y
= 3tg7x б)
y
= In
в)
у = (arctg2x)sinx
г) (x + 1)3 + (у - 1)3 + 3xy=0 д)
55.
а) у =
2x
б)
y=3arctg(7x+11) в)
у = (сtg7x)9х
г)
x4+y4
+9xy+sin3
y
= 0 д)
56. a) y = arcсtg(x5) б) у = tg35 7x- e1/x в) у = (sin9x)x+9
г)
д)
57.
a) y = x·arcsin
б)
y =;
в)
у
= (arctg7x)sin3x
г)
x3/2
+ y3/2
= y2 д)
58.
a)
y =
(l3+ ctg25x)
·e-x б)
y =
· ln3x в)
y = (arcsin9x)x+4
г)
(x+3y)4
+ (2x-5y)2=0 д)
59. a) у = ex-5 · cos6(5x +23) б) у = ln(tg7x) в) у = (tg3x)sin8x
г)
2x
+5 у
+ arctg9x
+ ln
y
= 3 д)
60.
а) y
=
б)
у =
в)
y=(tg2x)tg7x
г
)
y·
ln
2x
–x
·ln
3y
= y5 д)
61-80.
61. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна а. Каковы должны быть катеты, чтобы периметр треугольника был наибольшим?
62. Круговой сектор имеет периметр Р. Каков должен быть радиус сектора для того, чтобы площадь сектора была наибольшей?
63. В окружность радиуса R вписан прямоугольник. Каков должен быть размер прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
64. Каковы должны быть высота и радиус основания конуса с образующей I, чтобы объём конуса был наибольшим?
65. Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра, вписанного в полуокружность радиуса R.
66. Найти высоту конуса наибольшего объёма, который можно вписать в шар радиуса К.
67. Найти высоту цилиндра наибольшего объёма, который можно вписать в шар радиуса R.
68. Какова должна быть высота конуса, вписанного в шар радиуса R, для того чтобы его боковая поверхность была наибольшей?
69. Даны точки А(0;3) и В(4;5). На оси ОХ найти точку, сумма расстояний которой до точек А и В наименьшая.
70. В прямой круговой конус радиуса R и высоты h вписан цилиндр наибольшего объёма. Найти этот объём.
71. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объёмом V так, чтобы на облицовку стен и дна пошло наименьшее количество материала.
72. Решеткой длиной 120 метров нужно огородить прилегающую к дому прямоугольную площадку наибольшей площади. Определить размеры прямоугольной площадки.
73. Из сектора круга радиуса R свёртывается коническая воронка. При каком центральном угле она имеет наибольший объём?
74.
В эллипс
=
1 вписать прямоугольник наибольшей
площади. Найти стороны этого прямоугольника,
если они параллельны осям эллипса.
75. Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20 см. Какова должна быть высота воронки, чтобы её объём был наибольшим?
76. Открытый чан имеет форму цилиндра. Каковы должны быть радиус основания и высота цилиндра при данном объёме V, чтобы его поверхность была наименьшей?
77. Какой из цилиндров с данным объёмом V имеет наименьшую полную поверхность?
78. Прямоугольная площадка, примыкающая одной стороной к длинной стене, с трех сторон огорожена решеткой. Какова должна быть длина сторон площадки, чтобы она имела наибольшую площадь, если имеется 200 метров решётки?
79. Цилиндр с дном и крышкой имеет объём V. Каково должно быть отношение диаметра цилиндра к высоте, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материалов?
80. Окно имеет форму прямоугольника, завершённого полукругом. Периметр окна равен 300 см. При каких размерах сторон прямоугольников окно будет пропускать наибольшее количество света?
81-100. Исследовать методами дифференциального исчисления функции и на основании результатов исследования построить их графики.
81.
a) y=
б)
y=1 +
82.
а) y
= x3
– 9x2
+ 24x
- 15 б) y
=
83.
а) у =х5
-
б)
y=
84.
а) y
=2х3
+3х2
-12х - 5 б)
у =
85. а) y = (x - З)2(x - 2) б) у = (x + 1)e-2x
86.
а) у
=x4
– 8x3
+16x2 б)
y
=
87.
а) у = x2
+
б)
у
= Inx
-
88.
а) у =
б)
у =
lп(x2
+ 9)
89.
а) y
= x5
- х3
- 2х б) у
=
90.
а) y
=1- x2
+
б)
у
=
91.
а) у =
б)
у = ln(x2
- 4)
92.
а) у
=
б)
у
= (x-1)e3x+1
93.a)
y =
б)
y = x(e-2x+1)
94.
а) y
=
б)
y
= x2e-x
95.
а) у
=
б)
у
= lп(x2
- 2х +
6)
96.
а) у =
б)
у = х
In2
x
97.
a) y =
б)
y =
98.
а) y
=
б)
y
=(2+x)e1-x
99.
а) у =
б)
у =x2lnx
100.
а) у =
б)
у = х -
ln(1
+ х2)