5.2. Модель дуополии Курно

На рынке в течение производственного периода функционирует две фирмы. Их функции издержек являются линейными функциями, т.е. имеют вид:

где объём выпуска первой фирмы, объём выпуска второй фирмы, суммарный выпуск обеих фирм (т.е. отраслевой выпуск), и предельные издержки фирм, и постоянные издержки обеих фирм.

Функция, обратная к функции рыночного спроса, предполагается линейной и имеет вид

где и положительные параметры. Тогда доход (выручка) у первой фирмы равна а у второй Для прибыли каждой фирмы получаем следующие выражения:

(5.13)

(5.14)

Из приведённых формул следует, что прибыль каждой фирмы зависит не только от объёма её собственного выпуска, но и от объёма выпуска другой (конкурирующей с ней) фирмы.

Далее все построения будут выполнены только для первой фирмы. Ряд результатов для второй фирмы выписывается по аналогии.

В соответствии с принятой предпосылкой (первая фирма полагает, что выпуск второй фирмы в рассматриваемом периоде не меняется, т.е. и, следовательно, прибыль первой фирмы имеет вид

(5.15)

Аналогично, если вторая фирма полагает, что выпуск первой фирмы в рассматриваемом периоде не меняется, т.е. (и, следовательно, , то прибыль второй фирмы имеет вид

Для решения задачи максимизации прибыли следует сначала использовать условие первого порядка

(выписанное с учетом равенства ), откуда следует, что

(5164)

Отметим, что

Для прибыли условие второго порядка имеет вид

Таким образом, объём выпуска первой фирмы, равный (см. (5.4)), максимизирует её прибыль в течение производственного периода, если выпуск второй фирмы равен .

Аналогично, если выпуск первой фирмы равен , то выпуск второй фирмы, максимизирующий ее прибыль , в течение производственного периода, равен .

(5.17)

На основании равенств (5.4) и (5.5) выписываем систему

,

линейных алгебраических уравнений, которая имеет единственное решение

,

которое позволяет переписать равенства (5.4) и (5.5) так

, (5.18)

, (5.19)

т.е. если , то , и если , то .

Таким образом, выпуск первой фирмы, максимизирует ее прибыль, если вторая фирма имеет выпуск , который максимизирует ее прибыль при условии, что первая фирма имеет выпуск , который максимизирует ее прибыль. Естественно такую пару выпусков ( , ) первой и второй фирм назвать равновесием дуополии Курно или просто равновесием Курно. Подробное пояснение этого фундаментального понятия экономической теории приведено в разделе 8.7 учебника [].

Напомним, что изопрофита – это линия постоянной прибыли фирмы.

При объёме выпуска первой фирмы её максимальная прибыль равна

. (5.20)

Уравнение изопрофиты имеет вид или в развёрнутом виде

откуда следует, что

(5.21)

т.е. получили, что уравнение изопрофиты есть уравнение гиперболы, проходящей через точку У этой гиперболы одна вертикальная асимптота и одна наклонная, которая проходит через точки и и которая имеет уравнение

(5.22)

(см. рис. 5.3).

В точке изопрофита имеет «шапочку» (см. рис. 5.3, т.е. самая высокая точка каждой изопрофиты первой фирмы расположена на линии , имеющей уравнение .

Линию можно назвать линией реакции первой фирмы на выпуск второй фирмы, ибо эту линию заметают (от слова метла) все точки , первые координаты которых равны выпуску, максимизирующему прибыль первой фирмы, если первая фирма полагает, что вторая фирма имеет выпуск .

Аналогично линия , имеющая уравнение , есть линия реакции второй фирмы на выпуск первой фирмы.

На рис. 5.3 показаны две другие изопрофиты первой фирмы, а также изопрофита , проходящая через точку , которая изображает равновесие Курно. Очевидно, .

Абсциссы и точек пересечения изопрофиты с осью находим, положив в уравнении (5.8) изопрофиты Тогда получим квадратное уравнение

корни которого и получаем по известной формуле решения квадратного уравнения, которая после элементарных преобразований приобретает вид

(напомним, что

На основании формулы (5.13) имеем: ,откуда следует, что с ростом

выпуска второй фирмы максимальная прибыль первой фирмы

убывает, т.е. чем выше изопрофита, тем меньшему значению прибыли первой фирмы она

соответствует.

Рис. 5.1

Рис.5.4

Если в приведённых рассуждениях первую и вторую фирмы поменять местами, то получим результаты, которые симметричны только что приведённым (см. рисунок 5.4).

Точку естественно считать равновесием дуополии, в котором прибыль первой фирмы равна , и прибыль второй фирмы равна В этом равновесии ни одной фирме в одиночку не выгодно менять объём выпускаемой продукции, если другая фирма этого не делает. Описанное равновесие есть равновесие Курно дуополии. Оно представляет собой частный случай равновесия Нэша (см. параграф 9.7 учебника []). Равновесие Курно – одна из первых реализаций фундаментальной идеи экономического равновесия.

Выражения для прибыли первой фирмы в равновесии Курно, для прибыли второй фирмы, для отраслевой цены приведены в разделе 8.7.2 учебника []. Там же для сравнения приведены значения этих величин в условиях чистой конкуренции.

Рис.5.2РРис. 5.4