Соломонцев Ю.М. Теория автоматического управления

ления вязкой среды будут действовать в обратную сторону: />упр —

— РОЯ — "в. о ~ ">

Pjnv = j (х - у); Ряв = ту; Ря., = &у,

где у — скорость перемещения.

п

Подставляя значения Рупр. Рт и Л>. с в уравнение 2 Pt = О, получим —jy — ту — fiz/ = —]х, разделим обе части этого урав-

нения на/, тогда Tty + Tzy + у = х, где 7\ = т//, са; Т2							= б//, с.
	Уравнение движения		колебательного звена:			T^y/df*		+
+	Ttdy/dt + У (t) = Кх (t). Перейдем			от оригиналов к		изображе-
ниям: Trf*y		(р) + Тгру (р)	+ у ( р ) =	Кх	(р) или (7>2		+ Тгр	+
+	1 ) у (р)	= Кх (р).
	Передаточная функция W (р) = у (р)/х				(р) = /С/(7\/?а		+ Тгр	+

-f 1). При 2>^7\> Та звено обладает колебательными свойствами. Если это условие не соблюдается, то колебательное звено вырождается в апериодическое. Если х (р) = \1р (единичная функция),

то переходная функция			имеет вид h (t) = К			1 + е-'/г	(cosd>0/ -(-
sin со0т 1,		где Т = 2Г,/Г2;			со0 = Л4Г, - Г1/2Г,-
Для	определения выражения комплексного коэффициентауси-
ления	осуществим	замену		р -»•/о»,	а ра -»• (/со)2 = —ш2,			тогда
К (/со) = /(/(1 — со*!1! + /соГа). Амплитудно-фазовая							характе-
ристика колебательного			звена имеет вид, показанныйна рис. 2.27,в.
Для	построения ЛАЧХ			и ЛФЧХ (рис.2.27, г) находят				выра-.
жения для модуля		и фазы вектора К (/са) в следующем виде: для
модуля	|/С(/<о)| = К		1^ ( 1 — ufTiY		+ufTl',	для фазового		угла
Ф (со) = arctg [ —соТ2/(1 — са27\) 1.					Логарифмируя		выражение
| К (/о) | , найдем L (со) = 20 Igtf - 20 lg						]/"(! -со'гО' + со2^-

Используя выражение для L (со) и ф (со),строят логарифмические характеристики колебательного звена с учетом допущений, которые имели место при нахождении асимптотической ЛАЧХ инерционного звена. Для построения асимптотической ЛАЧХ

колебательного звена следует найти значение со = 1/1/ТТ, провести прямую, параллельную оси частот и отстоящую от нее на величину 201g К, до точки с частотой со = \1Т и из этой точки провести прямую с наклоном —40 дБ/дек. Следует учитывать, что построение асимптотической ЛАЧХ колебательного звена связано с наличием существенной погрешности, зависящей от коэффициента

затухания х = Tz/2]/^Ti, при х = 0,5 ошибка минимальна. Запаздывающее звено (рис. 2.28). Для любого устройства,

служащего для передачи или преобразования информации, справедливо то, что выходная величина проявляется с некоторым запаздыванием на время т относительно момента поступления

61

Jim

8)

Рис. 2.28. Характеристики запаздывающего звена:

а — амплитудно-фазовая; б — ЛАЧХ н ЛФЧХ; t — переходная

информации на вход устройства. В ряде случаев это запаздывание настолько мало, что им пренебрегают, полагая т = 0, и считают, что практически информация на входе и выходе возникает в один и тот же момент времени. Однако есть и такие устройства, где этот временной сдвиг играет существенную роль. Если устройство не поглощает энергию, то х (t) и у (t) совпадают по виду функциональных зависимостей. Звено определяется как запаздывающее, если оно описывается уравнением у (t) = х (t — т), г — время

запаздывания.

Примерами запаздывающего звена могут быть длинная линия без потерь, длинный трубопровод, некоторые тепловые объекты

(печи, нагреватели). Для			идеального запаздывающего звена пере-
даточная	функция	имеет вид		W (р) — е-"т. Комплексный коэф-
фициент	усиления	К. (/со) = е-'"". Годограф — окружность			с
радиусом,	равным	1,	так	как е~1т = cos сот — / sin сот,	а

| К (/°>) I — У'cos1 сот + sina (от = 1.

Каждой точке.годографа соответствует бесконечное множество значений частот. Скользя своим концом по этой окружности, вектор К (/о°) описывает по часовой стрелке при росте частоты все

возрастающий угол. Причастотах, равных 0, —, —, значение

К (/f>) = 1. ЛАЧХ запаздывающего звена совпадает с ЛАЧХ безынерционного звена с передаточным коэффициентом К = 1. Аналитическое выражение ЛФЧХ ср = arctg (—sin cot/cos сот) = = arctg (—tg сот) = —сот. Из фазочастотной характеристики следует, что запаздывающее звено дает равномерное пропускание всех частот при сдвиге фаз, пропорциональном запаздыванию т.

2.3. СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ МЕХАНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ

При описании систем управления, технологическими процессами механической обработки технологическая система, входящая в состав автоматического регулятора, в зависи-

мо

мости от выбора входной и выходной величины и исходя из динамических свойств или из движения системы в переходном режиме может быть представлена комплексом типовых динамических звеньев, соединенных между собой тем или иным способом. Вид этих звеньев, их передаточные функции определяютдинамические свойства автоматического регулятора в целом, а следовательно, и такие технические характеристики, как быстродействие, статическую и динамическую ошибки, что, в свою очередь, определяет и качество обрабатываемой детали на станке, оснащенном автома-

тическим регулятором того или иного технологического параметра.

В табл. 2.3 представлены схемы различных технологических систем, которыми далеко не исчерпывается все многообразие обработки деталей на металлорежущих станках. Однако рассмотрение этих схем, встречающихся на практике довольно часто, дает возможность познакомиться с методикой рассмотрения технологических систем в зависимости от их динамических свойств.

Элементы технологической системы удобно интерпретировать как некоторые консоли, нагружаемые на концах сосредоточенной нагрузкой (считается, что сила резания приложена в точке). Упругие перемещения, появляющиеся под действием сил резания, в этом случае могут быть интерпретированы как стрелы прогибов консолей с определенными жесткостями /.

В табл. 2.3 приведены передаточные функции рассматриваемых технологических систем, даны структурные схемы, составленные из типовых динамических звеньев, переходные функции,' что может оказаться полезным при моделированиидинамических свойств рассматриваемых систем.

На схемах 1 и 2 представлен один и тот же вид обработки вала

в патроне на токарном станке, но они отличаются выбором выходного параметра: в схеме 1 отсчет входного и выходного параметра осуществляется относительно одной базы, а в схеме 2 отсчет ведется от разных баз: входной параметр определяется как перемещение резцедержателя относительно станины, а выходной — как перемещение режущей кромки резца относительно резцедержателя.

Передаточная функция звена W (р) = 1/(1 + рТ). Если подача осуществляется скачком (единичной функцией) и х (t) = 0 при i < 0; х (f) — \ при t > 0, то, так как изображение х (р) =

оо

= J е~р' Id/ = l/р, а изображение выходной координаты у (р) =

о

= 1/р + р*Т), оригиналом выходной величины является у (t) = = 1 (— е-'/г. Это значит, что режущая кромка резца в этом случае

перемещается по	закону экспоненты, что вполне	согласуется
с самой сущностью	* «ического процесса резания	при наличии

упругих отжатий резнл ^о мере увеличения у (t) скорость съема падает из-за уменьшения силы резания).

63

2.3. Структурный анализ технологических систем механической ойра&отки

*/v		Соотноше-
па	Система отсчета.		Эквивалентная	Передаточная	Структурная
поряд-		ние не/кду
ку	координат	Jr и /г	система	Функция	схема
	Увых		Увх -Увых		Aj(p)
				И-рТ	Aj(fl)
		Ji»J2
					"-s|Z
				1 +рт
		J1»JZ			-1 Увых
				Jz
	у///////////л
			Увх -Увых
			Увх -		>=A,(fl)
				1+рТ
		JZ		т=с —	£Р
				ji
					Увых.

Переходная

Функция

тгг t

2Т

У

1

о~~т^~

•&	N
	•ч:
N
	и
	5
	о

_<М

ЛИ

U

-ак

и

к.

•V

t ^

Теория автоматического управления

fc

а, *> «

Э» »-

II

А

Переходный процесс идет тем медленнее, чем больше постоянная времени Т, а она, как было отмечено выше, обратно пропорциональна жесткости /', резца. Очевидно, что чем меньше жесткость /„ тем меньше упругие силы, развиваемые консолью (резцом), а значит, и меньше съем металла в единицу времени .На величину постоянной времени влияют глубина резания t, скорость резания

о, вид обрабатываемого материала KMD •

Под жесткостью /, не следует^ пониматьЯ жесткость только резца. Это некоторая приведенная к резцу жесткость, определяемая жесткостью всех элементов, входящих в цепь от точки измерения до базы, относительно которой ведется отсчет. Рассмотренный пример дает основание аналитического определения постоянной,

времени через конструктивные и технологические

параметры

системы, если осциллографирование процесса затруднительно.

Ца практике более приемлема схема 2..При вполне оправданном пренебрежении инерционными силами, развиваемыми массой

системы	«режущий		инструмент»,			можно		записать — jty (t) =
<= Cd (x — y)ldt. Знак «—», стоящий перед								левой	частью этого
выражения,		обусловлен		тем, что		величину у (t)			отсчитывают
навстречу	текущему		значению у;		при этом			расстояние х между
осью и концом резца определяется					как х		(t) +	у (t). Поэтому теку-
щее значение подачи на оборот S = Kd							[х (t) + у (t) ]/dt. Так как
С//, = Т,	то	—у (t) =		Td lx (t) +		У (t) Mdt,		После	разделения

переменных получим —у (t) = Tdyldt + Tdxldt. Алгебраизированное уравнение в этом случае (нулевые начальные условия) имеет вид — [у (р) -f pTx (р) \ =• рТх (р), а передаточная функция W (р) = у (р)/х (р) = —рТ/(\ + рТ).

Полученное выражение для W (р) указывает на то, что рассматриваемая технологическая система в этом случае представляет собой совокупность реального дифференцирующего звена с постоянной времени Т и пропорционального звена с передаточной функцией —1, соединенных последовательно. При действии на

входе единичной функции оригинал выходной величины у (t) = = е~'/г.

При перемещении резцедержателя скачком на величину х (t) скачком изменятся и показания у (t) на величину, равную —х (t). Из-за уменьшения упругих сил съем металла будет происходить медленнее, чем в первое мгновение, и полное «спрямлениерезца» теоретически возможно только по истечении бесконечно большого времени. Рассмотренные случаи указывают на необходимость

правильного представления динамических свойств технологиче-

ской системы,	так как иначе проектирование САУ может пойти
по неверному	пути вследствие того, что амплитудно-фазовые

характеристики апериодического и реальногодифференцирующего звеньев существенно различны.

Для схемы 3 характерно то, что приведенная жесткость системы «деталь» значительно меньше приведенной жесткости системы

67

«режущий инструмент». Подобное может иметь место, например, при эксплуатации шлицешлифовального станка, когда входной

величиной будет движение подачи круга на деталь в радиальном направлении, а выходной — деформации, например, заднего центра. Текущая величина у (t) в системе в этом случае отсчитывается сверху вниз, а в эквивалентной — снизу вверх. Параметры отсчитывают от одной и той же базы, например от стола станка. В этом случае для любого момента времени справедливо соотношение j\y (t) = Cd lx (t) — у (t) \tdt.

Следует отметить одно допущение: контакт круга с деталью точечный и площадь контакта не меняется за время рассмотрения процесса. Выражение j\y (t) определяет силу, вызвавшую деформа-

цию системы «деталь», а С • ** ^ — силу, обусловленную процессом резания. После группировкипеременных уравнение

принимает вид fay (t) +		Cdy/dt = Cdx/dt	и далее	при Т = С/Д
у (t) 4- Tdy/dt	= Tdx/dt,	а передаточная	функция при		соответ-
ствующей линеаризации процесса W (р) = у (р)/х				(р) = рТ1(\ +
+ рТ).
Полученное	выражение передаточной		функциц	указывает, на
то, что рассматриваемая		система и подобные ей с точки			зрения

теории автоматического управления представляет		собой	реальное
дифференцирующее	звено, переходная функция	для	которого
у (t] = е-</г.
При рассмотрении схемы 4, когда входная величина определяет
движение режущего	инструмента к детали (например, врезное

шлифование), а выходная контролирует деформацию в системе

«деталь» и съем металла, есть		все основания ожидать проявления
свойств инерционного звена		наряду со свойствами дифференци-
рующего.	И действительно,	анализ системы подтверждает это.
Так как	жесткости систем	«режущий инструмент» и «деталь»

несоизмеримы и в системе «режущий инструмент» практически

отсутствуют		упругие деформации, то для любого момента времени
сила, вызвавшая			деформацию детали,				определяется	жесткостью
/\ и координатой х			(t) — уг (t), где у^		(t)	— толщина снятого пояска
в результате		резания. Очевидно,			что	стрелы прогиба удлиняю-
щейся и укорачивающейся образующих							системы «деталь»		должны
быть одинаковы. Это дает возможность							записать уг	(t) +	у (t) —
= x(t)~	уг	(t). Отсюда		у, (t) = (х (t) -			у (t) 1/2.
Сила,	вызывающая			деформацию		«детали», F ~ Д [х (t) —

-ft (01 - A

Скорость перемещения режущей кромки в любой момент времени определяется лишь через координату уг (t) как dyjdt, так как именно этой величиной определяется относительное перемещение

инструмента и детали. Поэтому сила резания Р = С -О- —

— С -fi Г

•- "^ - 1 . Из условия равновесия сил следует, что

*(0 -т-0(01/2 = с	-	* ~ у	или /1 = ИО + У (01
В операторной форме связь между входной и выходной величи-
нами такая: Д* (р) +	]гу (р)	= Срх	(р) + Сру (р). Так как СУД =
= Т, то —х (р) (1 — рТ) = у (р) (1 + рГ), а передаточная функ-
ция W (р) = у (р)/х	(р) =	—(1 — рТ)/(\ + рТ). Это выражение

можно представить так: W (р) — рТ1(\ + рТ) — 1/(1 -)- рТ), что указывает на наличие трех типовых звеньев: реального дифференцирующего без статизма в одной из ветвей и апериодического и пропорционального, последовательно соединенных — в другой. Передаточной функцией пропорционального звена является — 1.

Переходная функция такой системы h (t) = е-'/г — (1 — е-'/г) == = 2е-2'/г — 1.

Схемы 5—7 хотя и представляют собой один и тот же вид обработки (расточку на токарном станке в патроне) и все характеризуются тем, что жесткости «детали» и «режущего инструмента» соизмеримы, но по своим динамическим свойствам весьма различны, что определяется различным выбором выходных данных величин.

Как и в предыдущих случаях, рассмотрение процессов сводится к рассмотрению консолей; отличие состоит в том,что эти схемы представлены системами, в которых взаимодействуют по двеконсоли, своими свободными концами лежащие одна на другой. Динамичность процесса подчеркивается тем,что на одной из консолей («деталь») образуется поясок, обусловленный процессом резания.

2.4. УСТОЙЧИВОСТЬ САУ

Математический признак устойчивости

САУ, как любая динамическая система, характеризуется переходным процессом, возникающим в ней при наруше-

нии ее равновесия каким-либо воздействием	(могут быть сигналы
управления, настройки, помехи и т. д.).
Переходный процесс у' '(/) зависит как	от свойств	системы,
так и от вида возмущения. В переходном процессе всегда		следует

различать две составляющие: ус (t) — свободные движения си-

стемы, определяемые начальными условиями и свойствами самой системы; г/в (/) — вынужденные движения, определяемые возму-

щающим воздействием и свойствами системы, т. е. у' (t) = ус (t) +

+ У» (О-

Чтобы САУ могла правильно реагировать на сигнал управления, настройки или изменения нагрузки,, в переходном процессе свободная составляющая с течением времени должна стремиться

к нулю, т. е. lim y (t) -*•0, так как характер свободногодви- <-*<» 0

69

Рис. 2.29. Виды кривых переходных процессов:

а — устойчивой САУ; б — неустойчивой СЛУ

жения системы определяет ее устойчивость или неустойчивость. Возможные виды кривых переходного процесса свободной составляющей ус (f) приведены на рис. 2.29.

При аналитическом исследовании динамических свойств системы автоматического регулирования необходимо найти ее дифференциальное уравнение и затем его проинтегрировать, т. е. найти закон изменения во времени интересующей величины.

Рассмотрим дифференциальное уравнение линейной системы

автоматического		регулирования. В соответствии с определением
устойчивости системы она				характеризуется свободными	движе-
ниями	системы.	Так	как	свободное движение линейной сис-
темы	описывается		однородным дифференциальным		уравне-
нием, т. е. уравнением без правой части, то, следовательно,						для
определения устойчивости системы и надлежит исследовать						такое

однородное уравнение.

Уравнение свободного движения линейной САУ, разрешенное относительно исследуемой величины (обычно относительно откло-

нения	регулируемого параметра от заданного значения), можно
записать так:
	п-1.
	d"~'yc
где С0, Clt .... Сп — постоянные		коэффициенты, определяемые
параметрамиСАУ.
В	операторной форме это	уравнение имеет вид (С0р" +
+ Cipn~l + ... + С„) t/e (f) = 0.		Отсюда характеристическое

уравнение имеет вид

СоРп + Сгр"-1 + • • • + (W -f С„ = 0.

Решение дифференциального уравнения при всех вещественных корнях имеет вид

где AI — постоянные интегрирования, определяемые параметрами системы и начальными условиями (всегда больше 0).