Соломонцев Ю.М. Теория автоматического управления

Рис. 2.36. Характеристики амплитудно-фазовые, переходные, ЛАЧХ и ЛФЧХ САУ:

о — устойчивая; б — консервативная; в — неустойчивая

3. Годограф охватывает точку (—1, /0) (рис. 2.36, в), ф8 = = Ф + я < 0, так как —я < ф < —2я. Система неустойчива, процесс носит расходящийся характер, теоретически амплитуда колебаний способна расти до бесконечности. На частоте среза, где модуль равен единице и ЛАЧХ пересекает ось частот (L = 0), фазовый угол фв = —я—ф, т. е. запас по фазе отрицательный. Нет и положительного запаса по амплитуде, так как при ф ==

=—я L. > 0.

Пр и м е ч а н и я : 1. Для нахождениячастоты среза, на которой модуль равен 1, проводят окружность с центром в начале

координат и радиусом, равным 1. Пересечение этой окружности с годографом определяет частоту среза — частоту, где модуль равен единице. 2. Если имеется запас по фазе, но он мал, то возникшие колебания затухают медленнее, чем в случае, когда запас

81

Рис. 2.37. Влияние угла запаса по фазе на переходной процесс

по фазе достаточен (рис. 2.37). Принято считать, что для удовлетворительно работающих систем автоматического регулирования запас по фазе ф„ = 35 ... 45°, а запас по амплитуде L3 ^ 10 дБ. И, как дополнительное условие, ЛАЧХ должна пересекать ось частот с наклоном —20 дБ/дек.

2.6. КАЧЕСТВО ПРОЦЕССА АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Устойчивость является необходимым, но недостаточным условием технической пригодности системы. Помимо устойчивости к переходному процессу предъявляют требования, обусловливающие его так называемые качественные показатели. Показателями качества функционированияСАУ называют количественные величины, характеризующие поведение системы в переходном процессе при поступлении на ее вход единичногоступенча-

того воздействия.

Пусть задачей САУ является обеспечение равенства управляемой величины у (t) заданной величине #уСТ при действии возмущения г (t). Любая материальная система по крайней мере в переходном режиме будет решать указанную задачу с ошибкой е (t) =•

=- «/уст — У (*)•

Методы анализа качества переходного процесса

Все методы анализа качества переходного процесса делят на прямые и косвенные. Прямые показатели качества— показатели, которые определяют непосредственно по переходной характеристике. Чаще этот метод реализуется путем непосред-

ственного		решения (интегрирова-
ния)	дифференциального					уравне-
ния системы и выполнения сог-
ласно этому решению					графичес-
кого	построения переходного про-
цесса	(прямой		метод		анализа).
Косвенные методы анализа (на-
хождение		распределения				корней
характеристического					уравнения
системы,		интегральный				метод,
частотный		метод	и	др.)		позво-	Ряс. 2.38. Качественные показатели
ляют	избавиться			от		громозд-	переходного процесса
ких	вычислительных				операций.
Из прямых показателей качества переходного процесса наибо-
лее часто используют следующие величины (рис. 2.38).
1.	Время регулирования /р, в течение которого, начиная с мо-
мента приложениявоздействия на систему, отклонения управляе-
мой величины Д# от ее					установившегося значения ууст			будут
больше наперед заданной величины в (оценка быстродействия
системы). Обычно принимают,что по истечении времени tv								откло-
нение управляемой величины от установившегося значения
должно быть не более в = 5 %.
2. Перерегулирование						а — максимальное отклонение		Л«/ти

управляемой величины от установившегося значения, выраженное

в процентах от t/yCT (характеризует				колебательность переходного
процесса). Абсолютное значение				Аг/ти	определяют из кривой
переходного процесса			Д«/ти = Ута	—У70	г- Соответственно пере-
регулирование О = [(l/ши— #уст)/0уот] Ю0%.
3.	Установившаяся		ошибка — отклонение			установившегося
значения выходной величины у (f) от заданного						значения J/,OT —
—вуст-
4.	Время	достижения первого		максимума'		/max.
5.	Время	нарастания переходного процесса				/„ — минималь-

ное время, за которое переходная характеристика системы пере-

секает уровень			установившегося значения.
6.	Частота		колебаний со= 2п/Т,	где Т — период колебаний.
7.	Коэффициент колебательности			М — отношение модуля ком-
плексного		коэффициента усиления		замкнутой системы при со0
к модулю		комплексного усиления		при ш = 0, т. е. М —

= 1*. (К) 1/1 *• (/0)|.

На рис. 2.39 представлен фрагмент годографа некоторой разомкнутой устойчивой системы. Очевидно, что отрезки ОА, OB, AB — векторные величины, причем ОА + АВ = 0В и АВ = 0В — ОА. Вектор ОА = —1, а вектор 0В == /Ср (/«>с). т. е. он представляет собой комплексный коэффициент усиления разомкнутой системы

на частоте среза. Тогда вектор		АВ	=	1 + К? (/<°е)-	Если рас-
сматриваемую САУ	замкнуть, тогда		комплексный коэффициент
замкнутой системы	на частоте	среза		/С, (у'(о0) = Кр	(/«>„)/[1 -{-

83

Рис. 2.39. Фрагмент годографа разомРис. 2.40. Влияние		угла запаса на
кнутой устойчивой системы	коэффициент колебательности
+ /Ср (/сос)1. Выражение в	знаменателе — вектор	ДВ, который
оказывается тем меньше, чем меньше запас по фазе. Очевидно и то

обстоятельство, что чем меньше знаменатель, тем больше /С8 (/<ов). Если построить амплитудные характеристики для различных 1 + /Ср (/сос), то они будут иметь вид, представленный на рис. 2.40.

Пик характеристики тем выше, чем меньше 1 + Кр (/сос). Чем выше пик, тем сильнее выражены колебательные свойства системы, следовательно, тем медленнее затухает колебательный переходный процесс.

Колебательные свойства системы оценивают по отношению модуля комплексного коэффициента усиления замкнутой системы на частоте среза к модулю комплексного коэффициентаусиления на частоте со = 0. Для удовлетворительного протекания переходного процесса система должна иметь М — 1, 2 ... 1,4 (рис. 2.41). При больших значениях М колебательный процесс затухает медленно. При значении коэффициента М < 1,2 колебательный процесс становится апериодическим и быстродействие системы, как правило, низкое.

Однако прямой метод становится трудоемким, когда приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями высоких порядков, особенно если требуется выяснить влияние отдельных параметров системы на показатели ее качества. Прямые показатели качества особенно неудобны,' когда параметры не фикси-

о

to

t o

Рис. 2.41.Влияние коэффициента колебательности на переходной процесс

рованы и их трудно выбирать так, чтобы удовлетворить заданным требованиям к ее качеству. В этом случае особенно удобны косвенные показатели качества.

Косвенный метод определения показателей качества переходного процесса по распределению корней характеристического уравнения

Этот метод основан на определении границ области расположения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости и установлении связи переходного процесса с показателями указанных границ. Он позволяет наглядно и доста-

точно просто оценить быстродействие системы и ее						колебательность.
Рассмотрим		характеристическое		уравнение С0№ + С^"-1 +
+ ... + Cn-jK	-j- С„ = 0. Если Хц А„, ...,				Хп — корни этого урав-
нения, а переменная у характеризует					процесс		управления, то
"	х /-	Требуется	написать		условия,		при	которых
=
величина у за время регулирования /р стала бы равной								1/т уста-
новившегося значения. Таким образом, косвенно задается время
стабилизации	переходного		процесса.
В этом случае все корни Я1, X,, ...,					Х„ характеристического
уравнения должны удовлетворять				не	только	условиям устой-
чивости, но и иметь отрицательную вещественную							часть по абсо-
лютному значению не меньше а. Величину а,						определяемую на
комплексной	плоскости корней как			расстояние			от мнимой оси

до ближайшего к нейкорня, находят из соотношения 1/т = е""0"?,

откуда, логарифмируя, получаем		а = In m/tf. Следовательно,
чтобы отклонение управляемого параметра уменьшилось за время
fp в т раз, необходимо, чтобы все корни			характеристического
уравнения находились в левой полуплоскости на расстоянии не
меньше чем	In m//p от мнимой оси.
Введем в	характеристическое уравнение		новую переменную
z = Я, + In m/fp. Для переменной		z мнимой	является, очевидно,

ось, сдвинутая влево на величину In m/tv. Тогда преобразованное характеристическое уравнение будет иметь вид

С0 (z - In m/tv)" + Cj (z - In m/fp)"-1 + • • • + Cn_!(z - In m/tv) +

Каждая степень разности в данном уравнении может быть раскрыта в следующем виде:

85

Рис. 2.42. Области расположения корней с заданными значениями а и

Если для характеристического уравнения с учетом разложения будут соблюдены условия устойчивости, то время переходного процесса будет не менее заданного. Применение любого критерия устойчивости (например, критерия Гурвица) к видоизмененному характеристическому уравнению дает возможность установить минимальное значение отрицательной вещественной части у наименее удаленного от мнимой оси корня характеристического уравнения, что дает возможность судить о времени затухания процесса или «степени устойчивости» а.

Распределение корней на комплексной плоскости можно характеризовать не одной, а несколькими величинами: расстоянием а ближайшего корня от мнимой оси и углом q>, в который вписываются наиболее отдаленные от мнимой оси комплексные

корни (рис. 2.42). Величину cos	<р = р* называют колебатель-
ностью системы (коэффициентом затухания колебаний).		Угол <р
для уменьшения колебательности	следует уменьшить. Его зна-
чение характеризует время регулирования: чем больше		а, тем
меньше время регулирования, а	значение Р — колебательность

системы: чем меньше р, тем более система склонна к колебаниям. Следовательно, для одновременного обеспечения заданного времени затухания процесса регулирования и заданной колебательности нужно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали внутри заштрихованной области.

Метод приближенного аналитического определения корней характеристического уравнения

Если А^, X,, .... А^ являются корнями характеристического уравнения С0Я," -f dA,"-' + ... + Cn-jK + Cn =О, то для нахождения переходного процесса в системе необходимо знать корни характеристического уравнения. Поэтому приобретает практическое значение умение определять корни характери-

стического уравнения системы, имеющей любой достаточно высокий порядок.

Имеем

характеристическое

уравнение

вида С0А," +

CiKn~~l-\-

+ ... + Cji-i^ + Cn

= 0.

В уравнении,

образованном

из трех

последних

членов

характеристического

уравнения,

Сп_аА,а +

+ С„-А + Сп = О определяет

корни А,01 и Х„2. Если эти корни

оказываются

вещественными, то

определяют один вещественный

корень

характеристического уравнения, а если комплексными —

определяют

первую

комплексную пару

корней.

В ы ч и с л е н и е

в е щ е с т в е н н о г о

к о р н я . Про-

цесс

вычисления первого

вещественного

корня состоит в следую-

щем:

задают

первое приближенное

значение

искомого корня

в виде

А,* = —Cn/Cn—i

и

делят

характеристическое

уравнение

на разность

(К—A,f) до тех

пор,пока в остатке не окажется дву-

член вида Q_iA, + Сп, который нельзя

разделить

без остатка на

разность

К—А,?.

В качестве второго приближения для первого искомого корня

берут значение А.**, определяемое

как отношение вида

— Cn/CJ—\.

Затем характеристическое

уравнение делят на разность

(А,—К")

до тех

пор,пока не останется

двучлен

вида C£l,iA, +

С„. Берут

третье

приближение

корня

А,"*, определяемое

выражением

А,*** = —С\1Сп—\. Чаще всего достаточно двух—трех приближений для того, чтобы остаток от деления характеристического уравнения на соответствующую разность (А,—Х\) был бы близок к нулю. Это означает, что первый искомый корень А^ определен, после чего степень характеристического уравнения понижается на единицу.

Указанная процедура повторяется применительно к новому уравнению пониженного порядка до тех пор, пока не будет найден следующий корень. Аналогичным путем находят все искомые

корни	характеристического уравнения.
В ы ч и с л е н и е		к о м п л е к с н о й			п а р ы	к о р -
н е и. В этом случае в качестве первого приближения берут						трех-
член	вида К* + (СП_1/С„_2)А, +		С„/Сп_а	и	характеристическое
уравнение делят на этот трехчлен			до тех пор,пока в остатке не

окажется трехчлен вида С'п-£? + С'п-\Ъ + Сп, который неделится
без остатка	на трехчлен	первого приближения. Затем		берут вто-
рое приближение А.2 +		(Cn-\/Cn—z) A, + Сп/Сп-г	и на	него снова
делят характеристическое уравнение до тех пор, пока				в остатке
не получится трехчлен		вида С^12А,2 + C^L\K +	С„. Третье при-
ближение	будет А»+ (C^li/C^l2) A, + С„/С^12.
Обычно	двух, трех	приближений достаточно	для получения

корректного результата. Получив удовлетворительное приближение вида А,* + ЛА, + В, определяют первые два корня исходного

характеристического	уравнения, т. е. А^ s = —А/2 ± т/^АШ—В.
После этого характеристическое уравнение понижается на два
порядка. Действуя	указанным путем, из найденного уравнения

пониженного порядка находят последующие корни характеристического уравнения.

87

гл. СИНТЕЗ СИСТЕМ

При исследовании САУ приходится иметь дело с двумя задачами: при заданной САУ требуется найти переходные процессы, возникающие в ней (задача анализа); при заданном объекте управления требуется построить такое управляющее устройство, при котором система удовлетворяет заданным требованиям к ее качеству (задача синтеза).

Обе задачи имеют много общего и в значительной мере связаны друг с другом. Однако задача синтеза значительно сложнее, так как она не является однозначной. Одни и те же требования, предъявляемые к САУ, можно удовлетворить различными путями.

Возможны две постановки задачи синтеза: структура управляющего устройства и, следовательно, структура системы заданы; необходимо, исходя из заданных требований к системе, определить параметры управляющего устройства или параметры и корректирующие устройства; структура системы не задана и надо синтезировать управляющее устройство (его структуру и параметры), обеспечивающее заданные требования к качеству системы.

Для первой постановки задачи корректирующее устройство должно быть технически осуществимо. Чаще задача синтеза сужается: при заданной основной схеме управления корректирующее устройство вследствие его простой технической осуществимости должно состоять только из каких-либо стандартных дополнительных корректирующих звеньев, например, в электрических системах из пассивны^ четырехполюсников. Поэтому в таких случаях обычно ограничиваются лишь определением вида и параметров корректирующего устройства, которые в сочетании с основной частью системы обеспечили бы требуемые динамические характеристики системы в целом. Иначе говоря, чаще рассматривают не синтез системы в целом, а лишь синтез корректирующего устройства, входящего в систему.

Коррекция САУ

Целью коррекции динамических свойств САУ является удовлетворение требований, предъявляемых к ней по устойчивости (запасам устойчивости) и показателям качества переходных процессов (быстродействию, перерегулированию, колебательности и т. п.). Когда эти требования не могут быть выполнены простым изменением параметров системы (коэффициентов

усиления, постоянных времени отдельных звеньев), тогда эту задачу решают введением в систему дополнительных специальных устройств, называемых корректирующими. Существуют три основных вида коррекции: последовательная, с помощью дополнительных обратных связей и смешанная (рис. 2.43).

Вопрос выбора схемы включения корректирующих устройств решают исходя из преимущества и недостатков, свойственных

sJ	- \ "I(W	— n^(f'/	" "Klfl		—— nrj(^/
-				»)
		WH еоив(Р)			Ии«С#
X(t)f •N	I	H "2'lt/,f n)	•		1	«Л <n> 1 .	J/W
~*vJ	1 "			P) ,	3 '" 1 *
.				V		^
				т
				I	n)

Рис. 2.43. Схемы включения корректирующих устройств.

а — последовательная коррекция; б — коррекция с помощью дополнительных обратных связей; в — смешанная коррекция

каждому из видов коррекции. При выборе схемы включения корректирующих устройств следует иметь в виду, что последовательное включение их при введении производных в основную цепь системы увеличивает скорость воздействия на системы, но одновременно при этом усиливается вредное воздействие на систему высокочастотных возмущений. Кроме того, повышение скорости воздействия требует повышения мощности системы и ее прочности.

Введение интегрирующего звена в закон регулирования делает систему астатической и, следовательно, устраняет статическую ошибку. Вместе с тем для стабилизации астатических систем

приходится значительно усложнять схему системы.

При включении корректирующих устройств в цепь обратной связи система менее чувствительна к внешним воздействиям и изменениям параметров основной цепи регулирования.

Последовательная коррекция. Корректирующие устройства включают, как правило, в систему после измерительного устройства (рис. 2.43, а). Если система находилась в состоянии равновесия и при приложении к ней возмущения х (t) должен быть получен переходный процесс заданного вида у (f), то, как известно, передаточная функция замкнутой системы должна быть выражена как отношение лапласовых изображений выхода ко входу, т. е.

W»	(Р) = L	[у (t)]/L	(х (01. Известно, что			wa (р) = wp		(/?)/[! +
+	.WP (р)],	откуда	Wp(p)	=	We (p)/[l +	WB (p)].	В	соответ-
ствии с выбранной структурной					схемой корректирующего			устрой-
ства может		быть определена		его передаточная функция			1Р„ (р) =
		т*(р) П-г.		(р)},	где wm	(р) = *г(р)		wt х

89

X О7) w» О7)- После этого следует решить задачу физической

реализации передаточной функции					WK	(p).
При	графоаналитическом		методе			расчета	структуры САУ,
переходя	от передаточных функций к					комплекснымкоэффициен-
там усиления для разомкнутой системы, будем							иметь /С0н 0<°) =
— Кисх (/«>) Кк (/<о). Переходя				к	логарифмическим характери-
стикам,	получим следующее		выражение: LCK				(со) = Lacx (со) -f
+ LK (со), откуда		LK (со) = LOK		(со)— LHCI (со).
Из приведенных выражений вытекает следующий порядок вы-
полнения расчетов.		1. Строят ЛАЧХ			исходной системы. 2. По за-

данным требованиям к качеству переходного процесса в проектируемой системе строят ЛАЧХ скорректированной системы. 3. По имеющимся ЛАЧХ строят соответствующие логарифмические фазочастотные характеристики и определяют имеющийся запас по фазе и по модулю. 4. Вычитанием ЛАЧХ исходной системы из ЛАЧХ скорректированнойсистемы получают ЛАЧХ коррек-

тирующего	устройства LK (со). По' полученной ЛАЧХ						корректи-
рующего устройства подбирают наиболее простое по техническому
исполнению	корректирующее		устройство и его			параметры.		Для
наиболее часто встречающихся			случаев выбора			корректирующего
' устройства	в	электрических	и	электромеханических системах
в табл. 2.5 даны электрические схемы,					передаточные функции и
логарифмические амплитудно-частотные характеристики.
Пример,	иллюстрирующий методику				синтеза при		последова-
тельном включении корректирующего					устройства, приведен на
рис. 2.44. Исходная астатическая				система имеет время переход-
ного процесса		больше того времени, которое				допустимо.		Запас

устойчивости по фазе меньше требуемого. Применим последовательную коррекцию. Скорректированная ЛАЧХ, построенная

вместе с соответствующей		фазочастотной характеристикой с уче-
том требуемого времени переходного процесса, имеет							частоту
среза о>с.ок	больше, чем частота		среза	(сос.исх) .У исходной
ЛАЧХ, наклон характеристики при этой частоте — 20 дБ/дек.,
а наклон	исходной — 40 дБ/дек.		Как	следствие		уменьшения
наклона у	скорректированной ЛАЧХ при				частоте	среза		запас
устойчивости по фазе		увеличивается		по	сравнению		с	исход-
ным.
Вычитание ЛАЧХ исходной системы				из ЛАЧХ		скорректиро-

ванной системы дает ЛАЧХ корректирующего устройства LK (со). В качестве корректирующего устройства для электрической системы выбираем пассивныйчетырехполюсник (см. табл. 2.5) как

элемент,	имеющий наиболее простое		исполнение. Параметры
такого дифференцирующего устройства		находят при рассмотрении
его ЛАЧХ и передаточной функции		WK	(p) = KI (1 + р7\)/(1 +
+ рТа),	где Тг = R& K! = ЪКЪ+Кг); Ts = KjTi- В свою
очередь,	Т. = 1/сок = ХгС = 7\; 20 lg		KI = 20 lg /?4/(/?!+/?в).

Из полученных уравнений находят параметры корректирующего элемента.