2.42. Хвильове рівняння для електромагнітного поля.
Одним з найважливіших наслідків фундаментальної системи рівнянь Максвелла є так зване хвильове рівняння для електромагнітного поля.
Розглянемо
однорідне ізотропне електронейтральне
(
)
непровідне (
)
середовище. В цій системі фундаментальні
рівняння (2.41.5) - (2.41.8) з урахуванням
зв’язків (2.41.9) і (2.41.10) набувають наступного
вигляду
(2.42.1)
(2.42.2)
(2.42.3)
(2.42.4)
Застосуємо оператор ротору до лівої і правої частин рівняння (2.42.1)
. (2.42.5)
Операції
обчислення похідних по просторових
координатах (
)
і часу (
)
комутують, тобто в правій частині
рівняння (2.42.5) їх можна міняти місцями.
В лівій частині (2.42.5) доцільно скористатись
стандартною формулою обчислення
подвійного векторного добутку
.
Приймаючи до уваги ці обставини і вводячи
позначення
,
запишемо рівняння (2.42.5) у вигляді
. (2.42.6)
Перший доданок в правій частині (2.42.6) дорівнює нулю внаслідок (2.42.4). Ротор напруженості магнітного поля визначається рівнянням (2.42.2). Отже, рівняння (2.42.6) можна записати наступним чином
. (2.42.7)
Для вакууму рівняння (2.42.7) набуде вигляду
. (2.42.8)
Рівняння типу (2.42.7) були відомі і докладно вивчені задовго до Максвелла і мають назву хвильових рівнянь. Загальний вид хвильового рівняння приведений нижче
, (2.42.9)
де
- швидкість розповсюдження хвиль в
деякому середовищі.
З
порівняння виразів (2.42.7), (2.42.8) і (2.42.9)
можна зробити висновок, що швидкість
розповсюдження
електромагнітних
хвиль в середовищі с заданими
дорівнює
. (2.42.10)
Для електромагнітних хвиль в вакуумі маємо
,
(2.42.11)
де с – швидкість світла в вакуумі.
Обчислюючи ротор в рівнянні (2.41.3) і повторюючи перетворення, ідентичні приведеним вище, знаходимо аналог рівняння (2.42.7) для напруженості магнітного поля
. (2.42.12)
Формулювання хвильового рівняння (2.42.7) для електромагнітної хвилі в речовині і, особливо, рівняння (2.42.8) для електромагнітної хвилі в вакуумі спричинило скандал в тогочасній фізичній громадськості, який нерідко переходив межі елементарної пристойності. Справа в тому, що сучасники Максвелла прекрасно знали про існування хвиль як збурень статичного стану деякого середовища (характерним прикладом хвиль такого типу є звукові хвилі). Вважалося незаперечним, що необхідною умовою існування хвиль є середовище, в якому вони розповсюджуються (справді, як уявити собі розповсюдження звукових хвиль в вакуумі?). За Максвеллом же виходило, що для існування електромагнітних хвиль фізичне середовище взагалі не потрібне. Це було незвичним, здавалось нереальним, помилковим, але це було вірним.
2.43. Властивості електромагнітних хвиль.
Хвильові рівняння виду (2.42.9) описують процес розповсюдження в просторі деякого збурення з плином часу. Під збуренням розуміється відхилення фізичної величини від її рівноважного (отже, і стаціонарного) значення. Для електромагнітних хвиль збуренням є нестаціонарне електричне або магнітне поле. Нагадаємо, що згідно з теорією Максвелла нестаціонарні електричні і магнітні поля не можуть існувати окремо: змінне електричне поле породжує змінне магнітне поле і навпаки.
Звичайно, в просторі поряд с нестаціонарним електромагнітним полем можуть існувати стаціонарні електричне і магнітне поля. Ці поля не мають жодного відношення до електромагнітних хвиль, які є предметом нашого вивчення, тому, не зменшуючи загальність розгляду, будемо вважати, що стаціонарні електричне і магнітне поля в просторі відсутні.
Тепер ми можемо визначити електромагнітну хвалю як сукупність нестаціонарних електричного і магнітного полів, які розповсюджуються в просторі.
Вектори
напруженостей електричного і магнітного
в електромагнітній хвилі залежать від
двох змінних:
.
Якщо для довільної фіксованої точки
простору електричне і магнітне поле
змінюються з часом за гармонічним
законом, електромагнітна хвиля має
назву монохроматичної хвилі. В
принципі будь-яка немонохроматична
хвиля може бути представлена сумою
монохроматичних хвиль; тому монохроматичні
хвилі займають в теорії хвильових
процесів особливе місце і слугують
базою для вивчення хвиль більш складної
природи.
Для
монохроматичних хвиль коректним є
визначення частоти
,
періоду
,
фази коливань
,
довжини хвилі
.
Геометричне місце точок, в яких фази коливань співпадають, має назву хвильової поверхні.
Форма хвильової поверхні визначає геометричний тип хвилі; приведемо для прикладу широко вживані терміни: плоскі хвилі, циліндричні хвилі, сферичні хвилі і таке інше.
Розповсюдження хвиль в просторі можна розглядати як рух хвильових поверхонь. В ізотропних однорідних середовищах швидкість руху хвильових поверхонь (або фазова швидкість) за модулем є однаковою для всіх точок хвильової поверхні; за напрямком фазова швидкість співпадає з вектором нормалі до хвильової поверхні, орієнтованим в бік розповсюдження хвилі.
Зручними кількісними характеристиками хвилі є кругова частота
(2.43.1)
і хвильовий вектор
. (2.43.2)
Електромагнітні
хвилі, по суті, є сукупністю двох
нерозривно зв’язаних між собою хвильових
компонент: електричної компоненти
і магнітної компоненти
.
Зв’язок між електричною і магнітною
складовими електромагнітного поля
визначається системою рівнянь Максвелла
і зумовлює існування деяких специфічних
співвідношень між електричною і магнітною
компонентами електромагнітної хвилі.
Розглянемо ці співвідношення на прикладі
плоскої електромагнітної хвилі.
З хвильового рівняння і фундаментальної системи рівнянь Максвелла випливає, що:
електрична і магнітна компоненти поля розповсюджуються в просторі з однаковими фазовими швидкостями;
частоти коливань для електричної і магнітної компонент є однаковими.
Сказане
вище дозволяє записати рівняння
плоских хвиль для
і
,
що розповсюджуються в напрямку
(тобто
)
у вигляді
, (2.43.3)
де
- амплітуди коливань електричної і
магнітної компонент,
- початкові фази коливань електричної
і магнітної компонент, відповідно.
Електромагнітна хвиля буде описаною повністю, якщо ми
знайдемо зв’язок між модулями амплітуд ;
встановимо співвідношення між початковими фазами ;
визначимо взаємну орієнтацію векторів
.
Інформація,
необхідна для відповіді на поставлені
вище питання, міститься в фундаментальній
системі Максвелла; необхідно лише
акуратно розглянути зв’язки між
компонентами векторів
,
що визначаються рівняннями (2.41.5)-(2.41.8).
Опускаючи громіздкі проміжні перетворення,
запишемо кінцеві результати
; (2.43.4)
. (2.43.5)
Вектори
взаємно ортогональні і утворюють
правогвинтову трійку векторів, тобто
. (2.43.6)
Електромагнітні
хвилі переносять енергію. Зручною
кількісною характеристикою цього
процесу є вектор величина, що має назву
густини потоку енергії або
вектора Умова –Пойнтінга
.
Скористаємося стандартною формулою
для густини потоку енергії, яку переносить
хвиля (не обов’язково електромагнітна)
, (2.43.7)
де
- густина енергії,
- швидкість хвилі. Для електромагнітної
хвилі
,
(2.43.8)
де враховано зв’язок (2.43.5).
Після підстановки (2.43.8) в (2.43.7), знаходимо
(2.43.9)