Дифракция света

18. Плоская световая волна падает нормально на непрозрачную пластинку с круглым отверстием. Последнее представляет собой первые N зон Френеля для точки Р на экране, отстоящем от пластинки на расстоянии b. Длина волны света равна λ. Найти интенсивность света I_о перед пластинкой, если известно распределение интенсивности света на экране I(r), где r – расстояние до точки Р.

.

19. Точечный источник света с λ = 0,50 мкм расположен на расстоянии а = 1,0 м перед диафрагмой с круглым отверстием радиусом r = 1,0 мм. Найти расстояние b от диафрагмы до точки наблюдения, для которой число зон Френеля в отверстии m = 3.

Ответ: b = ar²/(mλa – r²) = 2,0 м.

20. Между точечным источником света и экраном поместили диафрагму с круглым отверстием, радиус которого r можно менять в процессе опыта. Расстояния от диафрагмы до источника и экрана равны соответственно а = 100 см и b = 125 см. Определить длину волны света, если максимум освещенности в центре дифракционной картины на экране наблюдается при r_о = l,00 мм и следующий максимум при r₁ = 1,29 мм.

Ответ: λ = (r₂² – r₁²)(a + b)/2ab = 0,60 мкм.

21. Плоская монохроматическая световая волна с интенсивностью I_o падает нормально на непрозрачный экран с круглым отверстием. Какова интенсивность света I за экраном в точке, для которой отверстие:

а) равно первой зоне Френеля; внутренней половине первой зоны;

б) сделали равным первой зоне Френеля и затем закрыли его половину (по диаметру)?

Ответ: а) I ≈ 4I₀, I ≈ 2I₀; б) I ≈ I₀.

22. Монохроматическая плоская световая волна с интенсивностью I_o падает нормально на непрозрачный диск, закрывающий для точки наблюдения Р первую зону Френеля. Какова стала интенсивность света I в точке Р после того, как у диска удалили:

а) половину (по диаметру);

б) половину внешней половины первой зоны Френеля (по диаметру)?

Ответ: а) I ≈ 0; б) I ≈ I₀/2.

2 3. Плоская монохроматическая световая волна с интенсивностью I_o падает нормально на поверхности непрозрачных экранов, показанных на рис. Найти интенсивность света I в точке Р:

а) расположенной за вершиной угла экранов 1–3 и за краем полу- плоскости 4;

б) для которой закругленный край экранов 5–8 совпадает с границей первой зоны Френеля.

Обобщить полученные результаты для экранов 1–4 одной формулой; то же – для экранов 5–8.

Ответ: а) I₁ ≈ 9I₀/16, I₂ ≈ I₀/4, I₃ ≈ I₀/16, I₄ = I₂, I ≈ (1 – φ/2π)²I₀;

б) I₅ ≈ 25I₀/16, I₆ ≈ 9I₀/4, I₇ ≈ 49I₀/16, I₈ = I₆, I ≈ (1 + φ/2π)²I₀.

Здесь φ – угол, закрываемый экраном.

2 4. Плоская световая волна с λ = 0,60 мкм падает нормально на достаточно большую стеклянную пластинку, на противоположной стороне которой сделана круглая выемка (см.рис.). Для точки наблюдения P она представляет собой первые полторы зоны Френеля. Найти глубину h выемки, при которой интенсивность света в точке P будет: а) максимальной; б) минимальной;

в) равной интенсивности падающего света.

Ответ: а) d = λ(k + 3/8)/(n – 1) = 1,2(k + 3/8) мкм;

б) d = 1,2(k + 7/8) мкм;

в) d = 1/2k или 1,2(k + 3/4) мкм. Здесь k = 0, 1, 2, … .

25. Плоская световая волна длины λ и интенсивностью I₀ падает нормально на большую стеклянную пластинку, противоположная сторона которой представляет собой непрозрачный экран с круглым отверстием, равным первой зоне Френеля для точки наблюдения P. В середине отверстия сделана круглая выемка, равная половине зоны Френеля. При какой глубине h этой выемки интенсивность света в точке P будет максимальной? Чему она равна?

Ответ: h = λ(k + 3/4)/(n – 1), k = 0, 1, 2,…; I_макс ≈ 8I₀.

26. Плоская световая волна с λ = 0,57 мкм падает нормально на поверхность стеклянного (n = 1,60) диска, который закрывает полторы зоны Френеля для точки наблюдения Р. При какой минимальной толщине этого диска интенсивность света в точке Р будет максимальной? Учесть интерференцию света при прохождении диска.

Ответ: h_мин≈λ(k + 5/8)/(n – 1) = 2/5 мкм, где k = 2.

27. Плоская монохроматическая световая волна падает нормально на круглое отверстие. На расстоянии b = 9,0 м от него находится экран, где наблюдают некоторую дифракционную картину. Диаметр отверстия уменьшили в η = 3,0 раза. Найти новое расстояние b', на котором надо поместить экран, чтобы получить на нем дифракционную картину, подобную той, что в предыдущем случае, но уменьшенную в η раз.

Ответ: b' = b/η² = 1,0 м.

2 8. Плоская световая волна с λ = 0,60 мкм и интенсивностью I_o падает нормально на большую стеклянную пластинку, профиль которой показан на рис. При какой высоте h уступа интенсивность света в точках, расположенных под ним, будет:

а) минимальна;

б) вдвое меньше I_о (потерями на отражения пренебречь)?

Ответ: а) h = 0,60(2k + 1) мкм; б) h = 0,30(2k + 1) мкм. Здесь k = 0, 1, 2, … .

29. Плоская монохроматическая световая волна падает нормально на непрозрачную полуплоскость. На расстоянии b = 100 см за ней находится экран. Найти с помощью спирали Корню (см. рис. на след. стр.):

а) отношение интенсивностей первого максимума и соседнего с ним минимума;

б) длину волны света, если расстояние между двумя первыми максимумами Δx = 0,63 мм.

Ответ: а) I_макс/I_мин ≈ 1,7; б) λ = 2(Δx)²/b(v₂ – v₁)² = 0,6 мкм,

где v₁ и v₂ – соответствующие значения параметра v на спирали Корню.

30. Плоская световая волна с λ = 0,60 мкм падает нормально на непрозрачную длинную полоску шириной d = 0,70 мм. За ней на расстоянии b = 100 см находится экран. Найти с помощью спирали Корню отношение интенсивностей света в середине дифракционной картины и на краях геометрической тени.

Ответ: I_сер/I_кр ≈ 2,6.

31. Плоская монохроматическая световая волна падает нормально на длинную прямоугольную щель, за которой на расстоянии b = 60 см нахо-

Рис. Спираль Корню. Числа на этой спирали – значения параметра v. Для плоской волны v = x , где х и b – расстояния, характеризующие положение элемента зоны dS волновой поверхности относительно точки наблюдения Р, как показано в левом верхнем углу рисунка; λ – длина волны.

дится экран. Сначала ширину щели установили такой, что в середине дифракционной картины на экране наблюдался наиболее глубокий минимум. Раздвинув после этого щель на Δh = 0,70 мм, получили в центре картины следующий минимум. Найти длину волны света.

Ответ: λ = (Δh)²/2b(v₂ – v₁)² ≈ 0,55 мкм, где v₁ и v₂ –

соответствующие значения параметра v на спирали Корню.

32. Плоская световая волна с λ = 0,65 мкм падает нормально на большую стеклянную пластинку, на противоположной стороне которой сделана длинная прямоугольная выемка шириной d = 0,60 мм. Найти с помощью спирали Корню глубину выемки, при которой в середине дифракционной картины на экране, отстоящем на b = 77 см от пластинки, будет минимум.

Ответ: h ≈ λ(k + 3/4)/(n – 1),

где k = 0, 1, 2, … , n – показатель преломления стекла.

3 3. Плоская световая волна с λ = 0,65 мкм падает нормально на большую стеклянную пластинку, на противоположной стороне которой имеется уступ и непрозрачная полоска шириной d = 0,60 мм (см. рис.). На расстоянии b = 110 см от пластинки находится экран. Высота уступа h подобрана такой, что в точке 2 на экране интенсивность света оказывается максимально возможной. Найти с помощью спирали Корню отношение интенсивностей в точках 1 и 2.

Ответ: I₂/I₁ ≈ 1,9.

34. Свет с длиной волны λ падает нормально на длинную прямоугольную щель шириной b. Найти угловое распределение интенсивности света при фраунгоферовой дифракции, а также угловое положение минимумов.

Ответ: , где ; , где k = 1, 2,… .

35. При нормальном падении света на дифракционную решетку угол дифракции для линии λ_i = 0,65 мкм во втором порядке равен δi = 45°. Найти угол дифракции для линии λ_з = 0,50 мкм в третьем порядке.

Ответ: 55^o.

36. Свет с длиной волны 535 нм падает нормально на дифракционную решетку. Найти ее период, если одному из фраунгоферовых максимумов соответствует угол дифракции 35° и наибольший порядок спектра равен пяти.

Ответ: 2,8 мкм.

37. Определить длину волны монохроматического света, падающего нормально на дифракционную решетку с периодом d = 2,2 мкм, если угол между направлениями на фраунгоферовы максимумы первого и второго порядков Δα = 15°.

Ответ: мкм.

38. Свет с длиной волны 530 нм падает на прозрачную дифракционную решетку, период которой равен 1,50 мкм. Найти угол с нормалью к решетке, под которым образуется фраунгоферов максимум наибольшего порядка, если свет падает на решетку:

а) нормально;

б) под углом 60° к нормали.

Ответ: а) 45^о; б) 64^о.

39. Прозрачная дифракционная решетка имеет период d = 1,50 мкм. Найти угловую дисперсию D (в угл. мин/нм), соответствующую максимуму наибольшего порядка спектральной линии с λ = 530 нм, если свет падает на решетку

а) нормально;

б) под углом φ = 45° к нормали.

Ответ: а) D =  6,5 угл. мин/нм, где k = 2;

б) D =  13 угл. мин/нм, где k = 4.

40. Свет с длиной волны λ падает нормально на дифракционную решетку шириной l. Найти ее угловую дисперсию в зависимости от угла дифракции φ.

Ответ: dφ/dλ = (tg φ)/λ.

41. Свет с λ = 589,0 нм падает нормально на дифракционную решетку с периодом d = 2,5 мкм, содержащую N = 10 000 штрихов. Найти угловую ширину дифракционного максимума второго порядка.

Ответ: .

42. Свет, содержащий две спектральные линии с длинами волн 600,00 и 600,05 нм, падает нормально на дифракционную решетку шириной 10,0 мм. Под некоторым углом дифракции φ эти линии оказались на пределе разрешения (по критерию Рэлея). Найти φ.

Ответ: φ = 46^o.