Лабораторная работа №3 «Нахождение собственных чисел и собственных векторов матрицы»

_{Теоретический материал}

1. Метод Крылова. Собственные числа матрицы А определяют путём решения характеристического уравнения, приведённого к виду

Значение являются решениями системы, полученной из векторного равенства

где – начальный вектор (произвольный), . Решая эту систему, например при помощи метода Гаусса, находят .

Собственные векторы матрицы А определяют из соотношения

(i=1,2,…,n)

где – коэффициенты частного, полученного при делении на .

Пример решения задачи методом Крылова

A =

1. Для определения коэффициентов характеристического уравнения

⁴ – p₁ ³ – p₂ ² – p₃  – p₄ = 0

строим последовательность векторов:

В₀  произвольный вектор; В₁ = АВ₀; В₂ = АВ₁; В₃ = АВ₂; В₄ = АВ₃.

Если векторы В₀, В₁, В₂, В₃ окажутся линейно независимыми, то коэффициенты p₁, p₂, p₃, p₄ определяются из решения системы линейных уравнений, соответствующей равенству

В₄ = p₁ В₃ + p₂ В₂ + p₃ В₁ + p₄ В₀.

Систему линейных уравнений решаем средствами Excel или MathCAD, можно воспользоваться также программной реализацией метода Гаусса из лабораторной работы №1.

Таблица 1

А				В0	В1	В2	В3	В4
2,2	1	0,5	2	1	2,2	10,09	52,373	291,0006
1	1,3	2	1	0	1	6,5	41,84	239,605
0,5	2	0,5	1,6	0	0,5	6,55	37,64	220,7825
2	1	1,6	2	0	2	10,20	57,56	321,930

Таким образом, характеристическое уравнение матрицы имеет вид

. ()

2. Определение собственных чисел матрицы состоит в решении полученного характеристического уравнения (), например, средствами Excel или MathCAD, можно использовать программную реализацию одного из методов лабораторной работы №2.

Собственные числа матрицы А таковы:

₁ = 5,652; ₂ = 1,545; ₃ = –1,420; ₄ = 0,2226.

3. Собственный вектор X_i, соответствующий собственному числу _i , определяется по формуле

X_i= _i3B₀ + _i2B₁ + _i1B₂ + _i0B₃,

где коэффициенты при ранее найденных векторах В₀, В₁, В₂, В₃ находятся из равенства

= _i0³ + _i1² + _i2 + _i3.

Окончательные значения собственных векторов должны иметь кубическую норму, равную единице. Для того, чтобы собственный вектор имел кубическую норму, равную единице, нужно разделить все компоненты вектора на максимальную по модулю компоненту.

Все вычисления приведены в таблице 2.

Таблица 2

i	i3B0	i2B1	i1B2	i0B3	Xi
5,652	0,4877 0 0 0	–4,7672 –2,1669 –1,0334 –4,3338	–3,5113 –2,2620 –2,2794 –3,5496	52,373 41,84 37,64 57,56	44,5822 37,4111 34,2772 49,6766	0,879 0,753 0,690 1,0
1,545	1,7918 0 0 0	–15,5826 –7,08298 –3,5415 –14,1660	–44,9510 –28,9575 –29,1802 –45,4410	52,373 41,84 37,64 57,56	–6,3688 5,7995 4,9183 –2,0470	1 –0,911 –0,772 0,321
–1,420	–1,9427 0 0 0	22,7400 10,3364 5,1682 20,6728	–74,8678 –48,2300 –48,6010 –75,6840	52,373 41,84 37,64 57,56	–1,6975 3,9464 –5,7928 2,5488	0,293 –0,681 1 –0,440
0,2226	12,4042 0 0 0	–5,2692 –1,4860 –0,7430 –2,9720	–58,2940 –37,5531 –37,8420 –58,9295	52,373 41,84 37,64 57,56	3,2140 2,8009 –0,9450 –4,3415	–0,740 –0,645 –0,218 1

2. Метод Данилевского. Для определения коэффициентов характеристического уравнения матрицу A с помощью n-1 преобразований подобия заменяют подобной ей матрицей Фробениуса

P=

На первом этапе находят:

где

где

(матрица С подобна матрице А);

где

Пример решения задачи методом Данилевского

A =

1. Коэффициенты характеристического уравнения матрицы А определяются как элементы первой строки матрицы Фробениуса Р, подобной данной матрице А. Матрицу Р найдем в результате трех преобразований подобия:

Р = М^-1₁ М^-1₂ М^-1₃АМ₃М₂М_1.

Округляя значения коэффициентов до четырех десятичных знаков, получим характеристическое уравнение

⁴ – 6³ – 0,2² + 12,735 – 2,7616 = 0.

Это уравнение решаем средствами Excel или MathCAD, можно использовать программную реализацию одного из методов лабораторной работы №2. Корни уравнения таковы:

₁ = 5,652; ₂ = 1,545; ₃ = –1,420; ₄ = 0,2226.

2. Собственный вектор X_i , соответствующий собственному числу _i , определяется равенством

X_i = М₃ М₂ М₁Y_i, где Y_i = .

Результаты вычисления собственных векторов приведены в таблице 3.

Таблица 3

i	M1	M2	M3	Yi	Xi
5,652	–0,231125 1,078582 1,651001 1,158706	–0,351515 0,242424 –1,060606 –0,681212	–1,25 –0,625 0,625 –1,25	180,5537 31,9451 5,652 1	0,8977 0,7529 0,6898 1	0,898 0,753 0,690 1
1,545	–0,231125 1,078582 1,651001 –1,158706	–0,351515 0,242424 –1,060606 –0,681212	–1,25 –0,625 0,625 –1,25	3,6880 2,3870 1,545 1	3,1143 –2,8359 –2,4048 1	1 –0,911 –0,772 –0,440
0,2226	–0,231125 1,078582 1,651001 –1,158706	–0,351515 0,242424 –1,060606 –0,681212	–1,25 –0,625 0,625 –1,25	0,01103 0,4955 0,2226 1	–0,7403 –0,6451 0,2177 1	–0,740 –0,645 0,218 1
–1,420	–0,231125 1,078582 1,651001 –1,158706	–0,351515 0,242424 –1,060606 –0,681212	–1,25 –0,625 0,625 –1,25	–2,8633 2,0164 –1,420 1	–0,6665 1,5480 –2,2719 1	0,293 –0,681 1 –0,440

3. Метод итераций для определения первого собственного значения и соответствующего ему собственного вектора матрицы А. Строят последовательность векторов: – произвольный вектор, . Тогда

где и – одноименные координаты двух последовательных векторов;

При этом собственный вектор .

Пример решения задачи методом итераций

1. Строим последовательность векторов , где - произвольный вектор; тогда , где и – одноименные координаты двух последовательных векторов.

Все вычисления приведены в таблице 4.

Таблица 4

	1,6	2,3	1,2
A	2,3	0,6	1,5
	1,2	1,5	3,8
	1	1	1
	5,1	4,4	6,5	5,11	5,48	5,76
	26,08	24,12	37,42	5,45	5,41	5,60
	142,108	130,586	209,672	5,484	5,511	5,548
				5,5151	5,5148	5,5321
				5,5205	5,5225	5,5267
				5,5233	5,5235	5,5251
				5,5240	5,5241	5,5246
				5,5242	5,5243	5,5244
				5,5243	5,5243	5,5244
				5,5243	5,5243	5,5243

Итак, .

2. Собственный вектор определяется из равенства . Следовательно, . Для того, чтобы собственный вектор имел кубическую норму, равную единице, разделим все компоненты вектора на максимальную по модулю компоненту. Получим . Такую нормировку рекомендуется выполнять на каждой итерации для ограничения роста компонент вектора .