3.1.2.3 Численный пример Метода Зейделя

Решить систему уравнений с точностью e = 0,001.

5x₁ - 3x₂ + x₃ = 1

х₁ + 5х₂ + х₃ = 2

x₁ - 2х₂ -5х₃ = 2

Выразим в каждом уравнении последовательно каждую переменную через остальные, разделив каждую строку на соответствующий диагональный коэффициент. При этом получим

х₁ = 0,2 + 0,6х₂-0,2х₃

х₂ = 0,4 - 0.2х₁ - 0,2х₃

х₃ = - 0,4+ 0,2х₁ - 0,4х₂

В качестве нулевого приближения выберем х₁ = 0,2; х₂ = 0,4; х_з = - 0,4.

Далее производим итерации, выполняя соответствующие вычисления по формулам. Эти вычисления удобно производить, используя программный комплекс Microsoft Excel. Результаты выполненных таким образом вычислений для десяти итераций представлены ниже в виде таблицы Microsoft Excel.

3.2 Численные решение нелинейных уравнений

3.2.1 Теоретические сведения

Во мно­гих за­да­чах на­уч­но­го, ин­же­нер­но­го, экономического пла­на воз­ни­ка­ет не­об­хо­ди­мость ре­ше­ние урав­не­ния ви­да:

,

(3.1)

где – за­дан­ная функ­ция;

– не­из­вест­ная ве­ли­чи­на;

– па­ра­мет­ры за­да­чи.

Как пра­ви­ло, инженера ин­те­ре­су­ет по­ве­де­ние ре­ше­ний в за­ви­си­мо­сти от па­ра­мет­ров p_k. При ка­ж­дом фик­си­ро­ван­ном на­бо­ре па­ра­мет­ров p_k урав­не­ние (3.1) мо­жет иметь ли­бо ко­неч­ное чис­ло ре­ше­ний x, ли­бо бес­ко­неч­ное, что со­от­вет­ст­ву­ет фи­зи­че­ско­му смыс­лу кон­крет­ной за­да­чи.

Решениями, или корнями, уравнения (3.1) называются такие значения х, которые при подстановке в уравнение обращают его в тождество.

Только для простых уравнений удается найти решение в аналитическом виде, т. е. записать выражение для искомой величины х в явном виде через параметры p_k. В большинстве случаев приходится решать уравнение вида (3.1) численными методами, однако иногда, даже при известном аналитическом решении, имеющем сложный вид, бывает проще провести численное решение по известному алгоритму, чем программировать громоздкую аналитическую формулу.

Численное решение уравнения (3.1) обычно проводят в два этапа. На первом этапе необходимо отделить корни уравнения, т. е. найти такие интервалы изменения переменной х, где расположен только один корень. Этим действием на первом этапе определяют приближенные значения корней с погрешностью, задаваемой длиной интервала. На втором этапе проводят уточнение отделенных корней, т. е. находят непосредственно сами корни с заданной точностью, для этого известен большой набор алгоритмов и программ.

3.2.2 Метод дихотомии

Считаем, что определение корней уравнения (3.1) проведено и на отрезке [а, b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погреш­ностью (рис. 3.1).

Метод дихотомии, или половинного деления, заключается в сле- дующем. Определяем середину отрезка [а, b]:

(3.2)

и вычисляем функцию .

Далее делаем выбор, какую из двух частей отрезка взять для даль-нейшего уточнения корня.

Если левая часть уравнения f(x) есть непрерывная функция аргумента х, то корень будет находиться в той половине отрезка, на концах которой f(x) имеет разные знаки. В заданном примере (см. рис. 3.1) это будет отрезок , т. е. для очередного шага уточнения точку b перемещаем в середину отрезка и продолжаем процесс деления как с первоначальным отрезком [а, b].

Итерационный (повторяющийся) процесс продолжаем до тех пор, пока интервал [а, b] не станет меньше заданной погрешности .

Следует учитывать, что функция f(x) вычисляется с некоторой абсолютной погрешностью . Вблизи корня значения функции f(x) малы по абсолютной величине и могут оказаться сравнимыми с погрешностью ее вычисления. Другими словами, при подходе к корню можно попасть в полосу шумов (см. рис. 2.1) и дальнейшее уточнение корня окажется невозможным, поэтому необходимо задать ширину полосы шумов и прекратить итерационный процесс при попадании в нее. Кроме того, следует иметь в виду, что при уменьшении интервала [а, b] увеличивается погрешность вычисления его длины за счет вычитания близких чисел.

Метод дихотомии позволяет значительно уменьшить объем вычислений по сравнению с графическим методом, так как за каждую итерацию интервал, где расположен корень, уменьшается в два раза, поэтому через n итераций ин­тервал будет равен . За 10 итераций интервал уменьшится в раз ( ), за 20 – в раз ( ).