- •Вопрос 1: Классические задачи, иллюстрирующие необходимость построения теории случайных процессов. Понятие случайного процесса.
- •Вопрос 2. Классификация случайных процессов. Процесс с независимыми приращениями. Мартингалы.
- •Вопрос 3. Классификация случайных процессов. Марковские процессы. Стационарные случайные процессы.
- •Вопрос 4. Классификация марковских случайных процессов.
- •Вопрос 5. Понятие дискретной цепи Маркова и ее вероятностных характеристик.
- •Вопрос 6. Вероятностная структура однородной цепи маркова (вывод формулы ).
- •Вопрос 7. Определение вероятности перехода цепи Маркова за m шагов.
- •Вопрос 8. Примеры цепей Маркова.
- •Вопрос 9. Классификация состояний цепи Маркова
- •Вопрос 10. Критерий возвратности. Применение критерия возвратности к одномерному случайному блужданию по целочисленной решетке.
- •Вопрос 11. Предельная теорема для конечных цепей Маркова
- •Вопрос 12. Понятие марковского процесса и основных его вероятностных характеристик.
- •Вопрос 13. Вывод дифференциальных уравнений Колмогорова. Составление уравнений Колмогорова с использованием графа состояний.
- •Вопрос 14. Эргодические свойства однородных марковских случайных процессов.
- •Вопрос 15. Определение предельных вероятностей состояний Марковского процесса для двух состояний.
- •Вопрос 16. Понятие пуассоновского процесса. Примеры.
- •Вопрос 17. Утверждение о распределении промежутков времени и моментов времени для пуассоновского распределения.
- •Вопрос 18. Понятие процесса чистого рождения. Теорема Феллера.
- •Вопрос 19. Процесс рождения и гибели.
- •Вопрос 20. Процессы массового обслуживания. Основные понятия и классификация смо.
- •Вопрос 21. Характеристики простейшого потока. Основные свойства простейшего потока. Время ожидания и время обслуживания.
- •Вопрос 22. Принципы построения моделей массового обслуживания.
- •Вопрос 23. Основные характеристики систем массового обслуживания с отказами. Уравнения Эрланга.
- •Вопрос 24. Основные характеристики смо с ожиданием.
- •Вопрос 25. Понятие мартингала, субмартингала, супермартингала. Свойства мартингала, субмартингала, супермартингала.
- •Вопрос 26. Разложение Дуба.
- •Вопрос 27. Тождество Вальда. Доказательство тождества Вальда по Колмогорову-Прохорову.
- •Вопрос 28. Применение тождества Вальда для случайного блуждания.
- •Вопрос 29. Теорема Дуба о преобразовании свободного выбора.
- •Вопрос 30. Неравенство Дуба для максимального значения мартингала.
Вопрос 10. Критерий возвратности. Применение критерия возвратности к одномерному случайному блужданию по целочисленной решетке.
Ответ:
Состояние i является возвратным тогда и только тогда, когда
Доказательство. Пусть vn = fi,in вероятность впервые вернуться из состояния i в состояние i через n шагов, тогда – вероятность любым способом вернуться в состояние i через n шагов. С учетом введенных обозначений по формуле полной вероятности можно записать: ωn = v0ωn + v1ωn-1 + … + vnω0 и v0 = 0, ω0 = 1. Обратимся к производственным функциям:
Полученные соотношения между коэффициентами выражают равенство
W(z) – ω0 = W(z)V(z), ω0 = 1.
Отсюда W(z) = 1/(1-V(z)). По определению возвратности состояния i следует, что
Тогда
Но
и, таким образом, возвратность состояния i равносильно тому, что ряд расходится, где
Пример. Рассмотрим одномерное случайное блуждание по целочисленной решетке i = 0, ±1, ±2, .... За каждый период частица с вероятностью p перемещается на единицу вправо и с вероятностью q – на единицу влево. Очевидно, что а
Используя формулу Стирлинга , получаем:
то есть все состояния нулевые. Все состояния возвратны, если p=q = .
Если исходное состояние i является возвратным, то система с вероятностью 1 за бесконечно много число шагов бесконечно много раз возвращается в i. Если это состояние является невозвратным, то за бесконечное число шагов система с вероятностью 1 лишь конечное число раз побывает в состоянии i.
Вопрос 11. Предельная теорема для конечных цепей Маркова
Ответ:
Теорема Маркова. Если при некотором все элементы матрицы положительны, то существуют такие постоянные числа , , что независимо от индексов имеют место равенства , где .
Физический смысл теоремы следующий: вероятность системы находится в состоянии , практически не зависит от того, в каком состоянии она находилась в далёком прошлом.
Распределение вероятностей называют стационарным для однородной цепи Маркова , если при данном начальном распределении в последующие моменты времени распределение вероятностей остаётся неизменным при всех .
Цепь Маркова, удовлетворяющая условиям теоремы Маркова, называется эргодической, а распределение вероятностей – стационарным распределением цепи Маркова.
Для того чтобы конечная цепь Маркова была эргодической, необходимо и достаточно, чтобы она была неразложимой и апериодичной.
Вопрос 12. Понятие марковского процесса и основных его вероятностных характеристик.
Ответ:
Пусть X(t), t ≥0 – случайный процесс, принимающий значения при каждом t из множества E.
Случайная функция X(t), t ≥0, принимающая значения из множества E, называется марковским процессом с непрерывным временем и дискретным множеством значений, если для любых элементов 0 ≤ t1≤t2≤ … ≤tn-1≤s≤t и значений i1, i2, … in-1, i, j ∈ E выполнено = i.}
Вероятностью перехода марковского процесса X(t) называется функция
Pij (s,t) = P{X(t) = j/ X(s) = i}, где i,j ∈ E, 0 ≤s ≤t.
Из определения следуют свойства вероятностей перехода:
Вероятностью i-того состояния в момент времени t≥0 называется величина
pi(t) = P{X(t) = i}, где
Очевидно, что
Марковский процесс X(t) называется однородным, если pij (s, s+t) = pij (0, t) для всех , s,t ≥0.
Интенсивностью перехода λij(t)≥0 из состояния i в состояние j в момент t≥0 называется величина λij(t) =