- •Вопрос 1: Классические задачи, иллюстрирующие необходимость построения теории случайных процессов. Понятие случайного процесса.
- •Вопрос 2. Классификация случайных процессов. Процесс с независимыми приращениями. Мартингалы.
- •Вопрос 3. Классификация случайных процессов. Марковские процессы. Стационарные случайные процессы.
- •Вопрос 4. Классификация марковских случайных процессов.
- •Вопрос 5. Понятие дискретной цепи Маркова и ее вероятностных характеристик.
- •Вопрос 6. Вероятностная структура однородной цепи маркова (вывод формулы ).
- •Вопрос 7. Определение вероятности перехода цепи Маркова за m шагов.
- •Вопрос 8. Примеры цепей Маркова.
- •Вопрос 9. Классификация состояний цепи Маркова
- •Вопрос 10. Критерий возвратности. Применение критерия возвратности к одномерному случайному блужданию по целочисленной решетке.
- •Вопрос 11. Предельная теорема для конечных цепей Маркова
- •Вопрос 12. Понятие марковского процесса и основных его вероятностных характеристик.
- •Вопрос 13. Вывод дифференциальных уравнений Колмогорова. Составление уравнений Колмогорова с использованием графа состояний.
- •Вопрос 14. Эргодические свойства однородных марковских случайных процессов.
- •Вопрос 15. Определение предельных вероятностей состояний Марковского процесса для двух состояний.
- •Вопрос 16. Понятие пуассоновского процесса. Примеры.
- •Вопрос 17. Утверждение о распределении промежутков времени и моментов времени для пуассоновского распределения.
- •Вопрос 18. Понятие процесса чистого рождения. Теорема Феллера.
- •Вопрос 19. Процесс рождения и гибели.
- •Вопрос 20. Процессы массового обслуживания. Основные понятия и классификация смо.
- •Вопрос 21. Характеристики простейшого потока. Основные свойства простейшего потока. Время ожидания и время обслуживания.
- •Вопрос 22. Принципы построения моделей массового обслуживания.
- •Вопрос 23. Основные характеристики систем массового обслуживания с отказами. Уравнения Эрланга.
- •Вопрос 24. Основные характеристики смо с ожиданием.
- •Вопрос 25. Понятие мартингала, субмартингала, супермартингала. Свойства мартингала, субмартингала, супермартингала.
- •Вопрос 26. Разложение Дуба.
- •Вопрос 27. Тождество Вальда. Доказательство тождества Вальда по Колмогорову-Прохорову.
- •Вопрос 28. Применение тождества Вальда для случайного блуждания.
- •Вопрос 29. Теорема Дуба о преобразовании свободного выбора.
- •Вопрос 30. Неравенство Дуба для максимального значения мартингала.
Вопрос 13. Вывод дифференциальных уравнений Колмогорова. Составление уравнений Колмогорова с использованием графа состояний.
Ответ:
Пусть – Марковский процесс, причем для всех пар состояний и определены плотности вероятностей переходов и . Тогда вероятности состояний системы удовлетворяют системе уравнений Колмогорова:
Доказательство:
Используем равенство Колмогорова-Чепмена, а именно:
И используем определение интенсивности переходов, тогда
Учитывая, что , получим
Подставляя последние два условия, выделив слагаемое , имеем:
Переходя к пределу при , получим:
, iЕ, или
Полученные уравнения (1) называются дифференциальными уравнениями Колмогорова. Система (1) имеет решение при каждом p(0)=p0(0),p1(0), ….
Для практического составления уравнений Колмогорова удобно пользоваться графическим представлением процесса в виде стохастического графа.
Правило. Вершинами графа являются состояния процесса, стрелками указываются возможные переходы, а рядом с каждой стрелкой указывается соответствующая интенсивность перехода. В левой части каждого уравнения стоит дробь , в правой части столько слагаемых, сколько стрелок связано с состоянием ik. Слагаемые берутся со знаком «+», если стрелка направлена к состоянию, и со знаком «-», если стрелка выходит из состояния ik. Каждое слагаемое равно произведению интенсивности перехода, указанной на стрелке, на вероятность того состояния, из которого стрелка выходит.
i
j
Пример. Выписать уравнения Колмогорова по следующему графу.
Решение.
i1
i2
i3
Вопрос 14. Эргодические свойства однородных марковских случайных процессов.
Ответ:
Марковский процесс X(t), t≥0 называется эргодическим, если для любого начального распределения вероятностей состояний {pk(0), k } предельные вероятности , причем { не зависят от {pk(0), k } и удовлетворяют условию: При этом распределение вероятностей { называется стационарным распределением процесса X(t).
Если выполнены условия, то распределение { существует и удовлетворяет уравнениям Колмогорова:
Система уравнений справедлива, если X(t) имеет конечное число сообщающихся состояний.
Вопрос 15. Определение предельных вероятностей состояний Марковского процесса для двух состояний.
Ответ:
Определим предельные вероятности состояний марковского процесса , в случае когда имеется 2 состояния .
i1
i2
Система уравнений Колмогорова примет вид:
Зададим начальное распределение , 01. Подставляя
p1=1-p2 в первое уравнение системы, получаем
Решим задачу Коши для линейного неоднородного уравнения.
.
В силу того, что при t, получаем по определению
. Аналогично получаем .
Замечание. Полученные результаты можно вывести, если воспользоваться не определением, а системой дифференциальных уравнений (2):
Решив систему, получим те же результаты.
Вопрос 16. Понятие пуассоновского процесса. Примеры.
Ответ:
Простейшим потоком событий называется целочисленный процесс, удовлетворяющий следующим условиям:
1) X(t) – однородный или стационарный процесс, т.е. его приращение зависит от величины приращения аргумента P{X(t+h) – X(t) = k} = P{X(h) = k}, ∀ t, h ≥0.
2) X(t) – ординарный процесс, т.е. события в потоке следуют строго одно за другим и не происходят вместе P{X(t+h) – X(t) = 1} = λh + 0(h), P{X(t+h) – X(t)> 1} = 0(h).
3) X(t) – процесс без последствий, т.е. случайные величины {X(t1), X(t2) – X(t1), …} независимы в совокупности.
Ординарный процесс без последствий называется пуассоновским процессом.
Из св-ва 2 получим два важных следствия:
a) P{X(t+h) – X(t) = 0} = 1 – P{X(t+h) – X(t) ≥ 1} = 1 - λh + 0(h).
б) P {X (0) = 0} = 1.
Действительно, P{X(t+h) – X(t) = 0 = P{X(h) = 0} = 1 - λh + 0(h), если h = 0, то P {X (0 = 0} = 1.
Условие 2, 2а, 2б можно записать в виде:
*Граф пуассоновского процесса*(стр. 45)
Уравнения Колмогорова:
Начальные условия p(0) = (1;0;0; … 0) имеют вид, обусловленный следствием (б).
Для решения системы уравнений Колмогорова рассмотрим производящую функцию
Очевидно, что удовлетворяет условию уравнения
Получим
следовательно,
В полученном выражении X(t) = λt --- среднее число появления события за время (0;t).
Т.о., при каждом t случайная величина X(t) распределена по закону Пуассона с параметром λt.
Процесс Пуассона не имеет ни стационарного, ни предельного распределения, т.к
∀k, и, следовательно,