Учебное пособие 1544
.pdf10. Общий член un последовательности 17 |
,1, |
21… имеет вид… |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
16 |
|
22 |
|
|
||
а) |
6n +3 |
, |
б) |
2n +15 |
|
, |
в) |
7 − 2n |
, |
||
7n + 6 |
3n +13 |
8 −3n |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
г) |
|
n + 40 |
, |
д) |
4n +13 |
. |
|
|
|
||
|
n + 46 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
6n +14 |
|
|
|
|
11. Из рядов I. ∑∞ 2n +1 n n=1 n + 2
а) только I ,
в) только III,
д) ни один не сходится.
∞ |
n |
∞ |
1 |
|
|
; II. ∑92 |
; III. ∑ |
|
сходятся… |
||
5 |
|
||||
n=1 |
n |
n=1 |
n |
n |
б) только II,
г) I и II,
12. Общий член un |
последовательности 19 |
, |
5 |
, |
31 |
… имеет вид… |
|
|||||||
|
|
|
|
|
13 |
|
4 |
|
27 |
|
|
|
||
а) |
6n +13 |
, |
б) |
2n +1 |
, |
|
|
|
в) |
27 + 2n |
, |
|||
7n + 6 |
|
|
|
|
38 −3n |
|||||||||
|
|
|
|
3n +13 |
|
|
|
|
|
|
||||
г) |
|
5n +56 |
, |
д) |
7n −13 |
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
n + 42 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
8n −14 |
|
|
|
|
|
|
|
13. Из рядов I. ∑∞ 2n −1 n n=1 3n + 2
а) только I ,
в) только III,
д) ни один не сходится.
∞ |
2 |
∞ |
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
; II. ∑nn |
; III. ∑ |
|
|
|
|
|
|
сходятся… |
||
n |
3 |
+ n |
2 |
+1 |
||||||
n=1 |
9 |
n=1 |
|
|
|
б) только II,
г) I и II,
14. Общий член un |
последовательности 52 |
,1, |
54 |
… имеет вид… |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
51 |
|
55 |
|
|
|
||
а) |
3n + 43 |
, |
б) |
2n +17 |
, |
|
в) |
7 + n |
, |
|||
5n +51 |
n +19 |
|
8 − 2n |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
г) |
|
n +51 |
, |
д) |
2n −5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
2n + 49 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
3n −6 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
5n +7 n |
15. Из рядов I. ∑ |
|
|
n=1 |
|
2n −3 |
а) только I ,
в) только III,
д) ни один не сходится.
∞ |
n! |
∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
; II. ∑ |
; III. ∑ |
|
|
|
|
|
сходятся… |
||
n |
n |
3 |
+ n |
2 |
+1 |
||||
n=1 |
3 |
n=1 |
|
|
|
б) только II,
г) I и II,
91
16. Общий член un последовательности 27 |
, |
30 |
, |
1 |
… имеет вид… |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
56 |
|
61 |
|
2 |
|
|
|
||
а) |
3n + 24 |
, |
б) |
2n +17 |
, |
|
|
|
в) |
17 + 2n |
, |
||||
5n +51 |
3n +19 |
|
|
|
4 − 2n |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
г) |
|
n +1 |
, |
|
д) |
n + 26 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2n + 4 |
|
|
n +55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
9n +1 n |
|
17. Из рядов I. ∑ |
|
|
|
|
|||
n=1 |
|
17 + 6n |
а) только I ,
в) только III,
д) ни один не сходится.
∞ |
n |
∞ |
|
1 |
|
|
; II. ∑3 |
; III. ∑ |
|
сходятся… |
|||
n |
ln n |
|||||
n=1 |
n! |
n=1 |
|
б) только II,
г) I и II,
18. Выражение, соответствующее числовому ряду,…
|
|
∞ |
|
|
∞ |
|
|
∞ |
|
|||||||
а) ∑2nx , |
|
б) ∑3nx , |
|
в) ∑(−2)n , |
||||||||||||
|
|
n=1 |
|
|
n=1 |
|
|
n=1 |
|
|||||||
|
|
∞ |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|||||||
г) ∑ |
n |
, |
|
д) ∑ |
n! |
. |
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
x |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
n=1 3 |
|
|
n=1 2 |
|
|
|
|
|||||||
19. Общий член un |
последовательности 19 |
,21,−23… имеет вид… |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
а) |
2n −18 |
, |
б) |
2n −17 |
, |
в) |
17 + 2n |
, |
||||||||
6n + 26 |
3n −19 |
5 − 2n |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
г) |
|
7n −1 |
, |
|
д) |
3n + 26 |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3n + 4 |
|
|
5n +55 |
|
|
|
|
∞ |
|
n +1 |
20. Из рядов I. ∑ |
|
|
n |
2 |
|
n=1 |
− n +5 |
а) только I ,
в) только III,
д) ни один не сходится.
∞ |
|
∞ |
1 |
|
|
; II. ∑(n +n1)! |
; III. ∑ |
сходятся… |
|||
nln n |
|||||
n=1 |
5 |
n=1 |
|
б) только II,
г) I и II,
92
7.2.Функциональные ряды
21.Ряд Тейлора произвольной функции f (x) в окрестности точки x =1
имеет вид:
а)
б)
в)
г)
д)
f (1) + |
|
|
f ′(1) |
(x −1) + |
|
|
|
f ′′(1) |
|
(x −1)2 |
+... + |
|
|
|
f (n) (1) |
(x −1)n +... |
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||||||||||||
f (1) + |
|
f ′(1) |
|
(x +1) + |
|
|
|
f ′′(1) |
|
|
(x +1)2 |
+... + |
|
|
f (n) (1) |
(x +1)n +... |
||||||||||||||||
1! |
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
||||||
f (1) + |
|
f ′(1) |
(x −1) + |
|
f ′′(1) |
(x −1)2 |
+... + |
|
|
f (n) (1) |
(x −1)n +... |
|||||||||||||||||||||
1! |
|
|
2! |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|||||||
f (1) + |
|
|
1! |
|
|
(x −1) + |
|
|
|
|
2! |
|
(x −1)2 +... + |
|
|
|
|
n! |
(x −1)n +... |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n) |
|
|
||||||||||||||
|
|
′ |
|
|
f |
′′ |
|
f |
(1) |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f (1) |
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
f (1) + |
|
f (1) |
(x +1) + |
f (1) |
(x +1)2 +... + |
f (1) |
(x +1)n +... |
|||||||||||||||||||||||||
|
1! |
|
n! |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞
22. Радиус сходимости степенного ряда ∑ an xn определяется по
n=0
формуле:
а) R = lim an+1 ,
n→∞ an
в) R = lim n an+1 ,
n→∞ an
д) R = lim n an .
n→∞
б) R = lim n an ,
n→∞ an+1
г) R = lim an ,
n→∞ an+1
23. Выражение, соответствующее функциональному ряду,…
∞ |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
∞ |
а) ∑2n , |
|
|
б) ∑2nx , |
в) ∑(−2)n , |
|||||
n=1 |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
n=1 |
∞ |
n |
|
|
|
∞ |
n! |
|
|
|
г) ∑ |
, |
|
|
д) ∑ |
. |
|
|
||
n |
|
|
n |
|
|
||||
n=1 |
2 |
|
|
|
n=1 |
2 |
|
|
|
24. Ряд Фурье для четной функции |
f (x) |
с периодом T = 2l |
на отрезке |
||||||
[−l;l] имеет вид… |
|
|
|
|
|
|
|
||
а) a0 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
∞ |
|
+ ∑an cos |
πnx |
, |
|
|
|
б) ∑an cos πnx , |
|||
2 |
n=1 |
l |
|
|
|
|
n=1 |
l |
93
в) a20 д) a20
∞ |
πnx |
|
|
|
+ ∑bn sin |
, |
|
||
n=1 |
|
l |
|
|
∞ |
|
πnx |
|
πnx . |
+ ∑an cos |
+bn sin |
|||
n=1 |
|
l |
|
l |
∞ |
πnx |
|
г) ∑bn sin |
, |
|
n=1 |
l |
|
25. Ряд Фурье для нечетной функции [−l;l] имеет вид…
|
a0 |
∞ |
|
πnx |
|
|
а) |
+ ∑an cos |
, |
|
|||
|
2 |
n=1 |
|
l |
|
|
|
a0 |
∞ |
πnx |
|
|
|
в) |
+ ∑bn sin |
, |
|
|||
|
2 |
n=1 |
|
l |
|
|
|
a0 |
∞ |
|
πnx |
|
πnx . |
д) |
+ ∑an cos |
+bn sin |
||||
|
2 |
n=1 |
|
l |
|
l |
f (x) с периодом T = 2l на отрезке
∞ |
|
πnx |
|
|
б) ∑an cos |
, |
|||
n=1 |
|
l |
|
|
∞ |
πnx |
|
|
|
г) ∑bn sin |
, |
|
||
n=1 |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
n |
(n + 2)! |
|
|
|
26. Радиус сходимости степенного ряда ∑ |
x |
|
|
равен… |
|||||||||
|
|
n |
|||||||||||
а) 0, |
|
|
|
б) 2, |
|
|
n=1 |
|
7 |
|
в) 7, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
г) ∞, |
|
|
|
д) 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27. Выражение, соответствующее функциональному ряду,… |
|||||||||||||
∞ |
1 |
|
|
∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
∞ |
|
а) ∑ |
, |
|
б) ∑e |
|
, |
|
|
|
|
в) ∑(−arctg n)n , |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n=1 |
ln n |
|
n=1 |
n! |
|
|
|
|
|
n=1 |
|||
∞ |
|
n |
|
∞ |
|
|
n! |
|
|
|
|
||
г) ∑ |
|
|
, |
д) ∑ |
|
|
|
. |
|
|
|||
|
arcsin nx |
arcsin n |
|
|
|||||||||
n=1 |
|
n=1 |
|
|
|
28. При дифференцировании или интегрировании степенного ряда в области его сходимости радиус сходимости …
а) уменьшается в два раза, б) не изменяется, в) увеличивается в два раза,
г) уменьшается в три раза, д) увеличивается в три раза.
94
8.ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
8.1.Действия над комплексными числами
1. Если z |
= 2 −5i |
и z |
2 |
= −4 +i , то |
z1 |
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а) |
− |
3 |
|
|
+ 18 i , |
|
|
б) |
13 − |
18 i , |
в) |
− |
13 |
|
−18 i , |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
17 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
17 |
|
17 |
|
|
|
|
17 |
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
||||||||||||||||||||||
г) |
13 |
|
+ |
18 i , |
|
|
д) |
−13 |
+ |
18 i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
17 |
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2. Если z |
=5 − 2i |
и z |
2 |
= 2 +3i , то |
|
z1 |
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а) |
|
4 |
|
− |
19 i , |
|
|
б) − |
4 |
|
|
− |
19 i , |
в) |
|
|
4 |
|
+ |
19 i , |
|||||||||||||||||||||||
13 |
|
|
|
|
|
13 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
13 |
|
||||||||||||||||||||
г) |
− |
4 |
|
+19 i , |
|
|
д) |
16 − |
19 i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
13 |
|
13 |
|
|
|
|
13 |
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3. Если z |
=3 + 4i |
и z |
2 |
= 6 −7i , то |
z1 |
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а) |
46 |
+ |
|
9 |
i , |
|
|
б) |
|
|
2 |
− |
|
9 |
i , |
в) |
− |
2 |
|
+ |
9 |
i , |
|||||||||||||||||||||
85 |
|
|
|
17 |
17 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
85 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
17 |
|
||||||||||||||||||||||
г) |
46 |
− |
|
9 |
i , |
|
|
д) − |
2 |
|
− |
|
9 |
i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
85 |
85 |
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Модуль комплексного числа |
z1z2 равен … при условии z1 =1+i |
и |
||
z2 |
= 2 −i : |
|
|
|
|
|
а) 8 , |
б) 10 , |
в) 2 , |
|
|
|
г) 10 , |
д) 2 . |
|
|
|
|
5. Модуль комплексного числа z1z2 равен … при условии z1 = 2 −3i |
и |
|||
z2 |
= 2 +i : |
|
|
|
|
|
а) 8 , |
б) 65 , |
в) 11 , |
|
|
|
г) 65, |
д) |
17 . |
|
|
95
6. |
Модуль комплексного числа z1z2 равен … при условии z1 =3 − 2i и |
||||||
z2 = 2 +3i : |
|
|
|
|
|
|
|
а) 75, |
|
б) 25, |
|
|
в) |
27 , |
|
г) 13, |
|
д) 75 . |
|
|
|
|
|
7. |
Число, |
сопряженное |
комплексному |
числу |
z3 , |
равно…при |
условии |
z =3 − |
3i : |
|
|
|
|
|
|
а) −i24 3 , |
б) i24 3 , |
|
в) 24 +i24 3 , |
||||
г) 24 −i24 3 , |
д) −24 +i24 3 . |
|
|
|
|||
8. |
Число, |
сопряженное |
комплексному |
числу |
z4 , |
равно…при |
условии |
z =3 + |
3i : |
|
|
|
|
|
|
а) −72 −i72 3 , |
|
б) −72 +i72 3 , |
|
||||
в) 72 −i72 3 , |
|
г) i72 3 , |
|
||||
д) −i72 |
3 . |
|
|
|
|
|
8.2.Аналитические функции комплексного переменного
9.Правильная часть ряда Лорана однозначной аналитической функции f (z) имеет вид:
а) +A0 + A1 (z − a)+ A2 (z − a)2 + A3 (z − a)3 +…, б) −A0 − A1 (z + a)− A2 (z + a)2 − A3 (z + a)3 −…,
в) …+ |
|
A−3 |
+ |
|
|
A−2 |
+ |
|
|
A−1 |
+ , |
||||||
|
(z − a)3 |
|
(z − a)2 |
|
z − a |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
г) …+ |
|
A3 |
|
+ |
|
|
A2 |
|
+ |
|
|
A1 |
|
+ , |
|||
(z − a)3 |
(z − a)2 |
|
|
z − a |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
д) …− |
|
A−3 |
|
− |
|
|
A−2 |
|
− |
|
A−1 |
|
−. |
||||
|
(z + a)3 |
|
|
(z + a)2 |
|
z + a |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. Главная часть ряда Лорана однозначной аналитической функции f (z)
имеет вид:
а) +A0 + A1 (z − a)+ A2 (z − a)2 + A3 (z − a)3 +…, б) −A0 − A1 (z + a)− A2 (z + a)2 − A3 (z + a)3 −…,
96
в) …+ |
|
|
|
A−3 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
A−2 |
|
|
+ |
|
|
A−1 |
|
+ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
(z − a)3 |
|
(z |
− a)2 |
|
z − a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
г) …+ |
|
|
|
A3 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
+ |
|
|
A1 |
|
+ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
(z − a)3 |
(z |
− a)2 |
|
|
z − a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
д) …− |
|
|
|
A−3 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
A−2 |
|
|
|
− |
|
A−1 |
|
|
−. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
(z + a)3 |
|
(z |
+ a)2 |
|
z + a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
11. Для |
|
дифференцируемой |
|
функции |
f (z)=u(x; y)+iυ(x; y) |
условия |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Коши–Римана имеют вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
а) |
∂u |
= −∂υ |
, |
|
∂u |
= |
∂υ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
∂u |
= |
∂υ , |
∂u = −∂υ |
, |
|||||||||||||||||||
|
∂x |
|
|
|
|
∂y |
|
∂y |
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
∂y |
∂x |
|
||||||||
в) |
∂u |
= |
∂υ |
, |
|
∂u |
= ∂υ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
∂u |
= −∂υ |
, |
∂u |
= −∂υ , |
|||||||||||||||||||
|
∂x |
|
|
|
|
∂y |
|
|
∂y |
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
∂y |
∂x |
||||||||||
д) |
∂u |
= |
∂υ |
, |
|
∂u |
= − |
|
∂υ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∂x |
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
12. Вычет функции |
|
f (z) |
|
относительно ее полюса n – го порядка вычис- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ляется по формуле…, если а – полюс n – го порядка: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dn−1 (z |
|
− a)n f (z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
а) res f (z)= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d zn−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
z→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dn−1 (z |
− a)n−1 |
f (z) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
б) res f (z)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d zn−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
(n −1)! z→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dn (z − a)n |
|
f (z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
в) res f (z)= |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d zn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
n! z→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dn−1 |
|
(z − a) f (z) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
г) res f (z)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d zn−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
(n −1)! z→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dn−1 (z |
− a)n f (z) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
д) res f (z)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d zn−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
(n −1)! z→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
13. Вычеты функции f (z)= |
|
|
|
|
|
|
z |
равны… |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
(z − 2)(z −3) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) res f (z)= 2, |
|
|
res f (z)= 3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
(z)= −2, |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
б) res f |
|
res f (z)= −3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
97
в) res f (z) = −2, |
|
res f (z)= 3, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) res f (z) = −3, |
|
res f (z)= −2 , |
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) res f (z)= −3, |
|
res f (z)= 2 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. Вычеты функции f (z)= |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
z2 +9 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
а) res f (z)= − |
|
i |
|
|
, |
res f (z) |
= |
|
|
|
i |
, |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3i |
|
6 |
|
|
|
−3i |
|
6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
б) res f (z)= − |
i |
, |
res f (z) |
= − |
i |
|
, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3i |
i |
6 |
|
−3i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
||||||||
в) res f (z)= |
, |
|
|
|
res f (z)= |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3i |
|
i |
|
|
|
−3i |
|
6 |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
г) res f (z)= − |
|
|
, |
res f (z) |
= |
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3i |
|
9 |
|
|
|
|
−3i |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
д) res f (z)= − |
i |
|
, |
res f (z) |
= |
i |
. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3i |
|
3 |
|
−3i |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
15. Вычет функции |
f (z)= |
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
(z −3)3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равны…
равны…
а) res f (z)= |
1 |
, |
|
|
б) res f (z)=1, |
|
||
3 |
6 |
|
|
|
3 |
|
|
|
в) res f (z)= −1 |
, |
|
г) res f (z)= − |
1 |
, |
|||
3 |
3 |
|
|
3 |
6 |
|
||
д) res f (z)= |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
16. Вычеты функции f (z)= |
|
z2 |
|
|
||||
|
равны… |
|
|
|||||
(z − 2)(z −3)(z − 4) |
|
|
||||||
а) res f (z)= 2, |
res f (z)=9, |
res f (z)= −8 , |
|
|
||||
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
б) res f (z)= −2, |
res f (z)= −9, res f (z)=8 , |
|
|
|||||
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
в) res f (z)= 2, |
res f (z)= 9, |
res f (z)=8, |
|
|
||||
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
г) res f (z)= 2, |
res f (z)=8, |
res f (z)= −9, |
|
|
||||
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
д) res f (z)= 2, |
res f (z)= −9, res f (z)=8. |
|
|
|||||
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
98
17. Вычеты функции f (z)= |
|
|
|
z |
|
равны… |
|||||
|
z2 +16 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) res f (z)= |
1 |
|
, |
res f (z)= − |
1 |
, |
|
||||
4i |
2 |
|
|
−4i |
|
2 |
|
|
|||
б) res f (z)= − |
1 |
, res f (z) |
= |
1 |
, |
|
|||||
4i |
1 |
2 |
−4i |
1 |
2 |
|
|
||||
в) res f (z)= |
, |
res f (z)= |
, |
|
|
||||||
4i |
2 |
|
|
−4i |
2 |
|
|
|
|
||
г) res f (z)= |
i |
|
, |
res f (z)= − |
1 |
, |
|
||||
2 |
2 |
|
|||||||||
4i |
|
|
|
−4i |
|
|
|
||||
д) res f (z)= − |
i |
, res f (z) |
= |
i |
. |
|
|||||
|
|
|
|||||||||
4i |
|
|
2 |
−4i |
|
2 |
|
|
18. Вычет функции f (z)= z4
(z − 2)2
а) res f (z)= −16,
2
в) res f (z)= −16i ,
2
д) res f (z)=32 .
2
равны…
б) res f (z)=32i ,
2
г) res f (z)=16 ,
2
19. Множество точек плоскости задается соотношением…
а) Re z ≥3,
б) Re z ≤3,
в) Im z ≤3 ,
г) Im z ≥3 ,
д) Re z =3.
99
20. Множество точек плоскости задается соотношением…
а) Re z ≥ 2 ,
б) Re z ≤ 2 ,
в) Im z ≤ 2 ,
г) Im z ≥ 2 ,
д) Re z = 2 .
21. Множество точек плоскости задается соотношением…
а) Re z ≥ 2 ,
б) Re z ≤ 2 ,
в) Im z ≤ 2 ,
г) Im z ≥ 2 ,
д) Re z = 2 .
22. Множество точек плоскости задается соотношением… а) Re z ≥ 4 ,
б) Re z ≤ 4 ,
в) Im z ≤ 4 ,
г) Im z ≥ 4 ,
д) Re z = 4.
100