Учебное пособие 1544
.pdf33. Укажите интеграл, представляющий площадь заштрихованной части фигуры, изображенной на чертеже:
y
4
|
|
х |
-2 |
0 |
2 |
а) ∫2 (4 − x2 )dx , |
|
|
б) ∫2 (x2 −4)dx , |
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
в) ∫4 (2 − y )dy , |
|
|
г) ∫2 x2 dx , |
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
д) ∫4 ( y −2)dy . |
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
34. Площадь фигуры, |
ограниченной линиями y =1 x2 , |
y = x , |
y = 0 и |
|||||
x = 4, равна … |
|
|
|
|
|
|
||
а) |
5 |
, |
б) |
7 |
, |
в) |
5 |
, |
|
6 |
|
|
4 |
|
|
4 |
|
г) |
3 |
, |
д) |
1 . |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
35. Площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 и y = 2 − x2 , равна … |
||||||||
а) |
8 |
, |
б) |
8 |
, |
в) |
9 |
, |
|
5 |
|
|
3 |
|
|
5 |
|
г) |
11 , |
д) |
2 . |
|
|
|
||
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
36. Площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда ρ = 2ϕ, равна …
а) |
16 |
π4 |
, |
б) |
16 |
, |
в) |
16 |
π , |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
71
|
г) |
16 |
π2 , |
д) |
16 |
π3 . |
|
|
|
||
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
37. Длина дуги верхней ветви полукубической параболы |
y = x3 2 от x = 0 |
|||||||||
до x =5 равна … |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
а) |
335 |
, |
б) 305 , |
|
|
|
в) |
235 , |
||
|
|
27 |
|
27 |
|
|
|
|
27 |
|
|
|
г) |
330 |
, |
д) |
135 . |
|
|
|
|||
|
|
27 |
|
|
27 |
|
|
|
|||
|
38. Объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линия- |
||||||||||
ми |
y = sin x и y = 0 (0 ≤ x ≤π ), вокруг оси абсцисс, равен … |
|
|
|
|||||||
|
а) |
π |
, |
|
б) |
π |
, |
в) |
π2 |
, |
|
|
3 |
|
2 |
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
г) |
π2 |
|
д) |
π2 |
. |
|
|
|
||
|
2 |
, |
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
39. Объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линия- |
||||||||||
ми |
y = tg x и y = 0 (0 ≤ x ≤π 4 ), вокруг оси абсцисс, равен … |
|
|
|
|||||||
|
а) 1−π , |
б) π , |
|
в) 1−π 4 , |
|||||||
|
г) 1, |
|
|
д) 1−π2 . |
|
|
|
40. Объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y = x3 , x = 0 и y =1, вокруг оси ординат, равен …
а) |
2π |
, |
б) |
3π |
, |
в) |
π |
, |
||
5 |
5 |
5 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
г) |
|
4π |
, |
д) π . |
|
|
|
|
||
|
5 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41. Объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y = x3 , x = 0 и y =1, вокруг оси абсцисс, равен …
а) |
2π |
, |
б) |
3π |
, |
в) |
4π |
, |
|||
7 |
|
7 |
7 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
г) |
|
5π |
, |
д) |
6π |
. |
|
|
|
||
|
7 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
72
42. Объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y = 4x , x =1, x = 4 и y = 0 , вокруг оси абсцисс, равен …
а) 12π , |
б) 13π , |
|
|
|
|
|
|
|
в) 14π , |
|
|||
г) 15π , |
д) 16π . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
43. Объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линия- |
|||||||||||||
ми y = 4 x , x =1, x = 4 и y = 0 , вокруг оси ординат, равен … |
|
|
|
||||||||||
а) 23π , |
б) 24π , |
|
|
|
в) 25π , |
|
|||||||
г) 26π , |
д) 27π . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|||
44. |
Вычисление |
несобственного |
интеграла |
∫0 |
dx |
|
приводит |
к |
|||||
4 + x2 |
|||||||||||||
результату… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π , |
|
|
а) интеграл расходится, |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
||||
|
π , |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
в) |
г) |
, |
|
|
|
|
|
д) |
π . |
|
|||
|
6 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
45. |
Вычисление |
несобственного |
|
интеграла |
∫0 |
cos xdx |
приводит |
к |
|||||
результату… |
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π , |
|
||
а) интеграл расходится, |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
||||
|
π , |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
в) |
г) |
, |
|
|
|
|
|
д) |
π . |
|
|||
|
6 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
46. |
Вычисление |
несобственного |
интеграла |
|
∞∫ex dx |
приводит |
к |
||||||
результату… |
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π , |
|
||
а) интеграл расходится, |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
||||
|
π , |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
в) |
г) |
, |
|
|
|
|
|
д) |
π . |
|
|||
|
6 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||
47. Вычисление несобственного интеграла ∫1 |
dx |
приводит к результату… |
|||||||||||
x2 |
|||||||||||||
а) интеграл расходится, |
|
|
|
|
|
|
|
б) 1, |
|
||||
в) 2 , |
г) 3 , |
|
|
|
|
|
|
д) 4 . |
|
||||
|
|
73 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48. |
Вычисление несобственного интеграла ∞∫ |
dx |
приводит к результату… |
||||||||
x |
|||||||||||
а) интеграл расходится, |
1 |
|
|
|
б) 1, |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
в) 2 , |
г) 3 , |
|
|
|
|
|
|
д) 4 . |
|||
49. |
Вычисление несобственного интеграла ∞∫ |
dx |
|
приводит к результату… |
|||||||
x |
|||||||||||
а) интеграл расходится, |
1 |
|
|
|
б) 1, |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
в) 2 , |
г) 3 , |
|
|
|
|
|
|
д) 4 . |
|||
50. |
Вычисление |
несобственного |
интеграла |
∫2 |
dx |
|
приводит к |
||||
4 − x |
2 |
||||||||||
результату… |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
π , |
|||
а) интеграл расходится, |
|
|
|
|
|
|
б) |
||||
в) π , |
г) π |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
, |
|
|
|
|
|
д) |
π . |
||||
|
6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
1 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
51. |
Вычисление несобственного интеграла ∫0 |
|
приводит к результату… |
||||||||
x2 |
|||||||||||
а) интеграл расходится, |
|
|
|
|
|
|
б) 1, |
||||
в) 2 , |
г) 3 , |
|
|
|
|
|
|
д) 4 . |
|||
52. |
Вычисление несобственного интеграла ∫1 |
dx |
приводит к результату… |
||||||||
x |
|||||||||||
а) интеграл расходится, |
0 |
|
|
|
б) 1, |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
в) 2 , |
г) 3 , |
|
|
|
|
|
|
д) 4 . |
|||
53. |
Вычисление несобственного интеграла ∫1 |
dx |
|
приводит к результату… |
|||||||
x |
|||||||||||
а) интеграл расходится, |
0 |
|
|
|
б) 1, |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
в) 2 , |
г) 3 , |
|
|
|
|
|
|
д) 4 . |
|||
|
|
74 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 4 |
|
|
54. |
Вычисление несобственного |
|
интеграла ∫ ctg xdx приводит к |
|||
результату… |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
π , |
||
а) интеграл расходится, |
|
|
б) |
|||
|
π , |
|
π |
|
|
2 |
в) |
г) |
, |
д) |
π . |
||
|
6 |
|
3 |
|
|
4 |
55. Длина дуги кривой y = f (x) a ≤ x ≤b вычисляется по формуле … |
||||||
а) L = ∫b |
1−(f ′(x))2 dx , |
|
б) L = ∫b |
1+(f ′(x))2 dx , |
||
|
a |
|
|
a |
|
|
в) L = ∫b |
1+ f ′(x)dx , |
|
г) L = ∫b |
1+ f 2 (x)dx , |
||
|
a |
|
|
a |
|
|
д) L = ∫b |
(f ′(x))2 −1dx . |
a |
|
5.3.Кратные интегралы
56.Результат расстановки пределов интегрирования в двойном интеграле
∫∫ f (x, y)dxdy , где область D ограничена линиями y = x2 , y = 2 − x , имеет вид:
D
1 |
2−x |
1 |
2−y |
|
а) ∫dx ∫ f (x, y)dy , |
б) ∫dx ∫ f (x, y)dy , |
|||
−2 |
x2 |
−1 |
y |
|
2 |
2−x |
2−y |
2−x |
|
в) ∫dx ∫ f (x, y)dy , |
г) ∫ |
dy ∫ |
f (x, y)dx , |
|
−1 |
x2 |
y |
x2 |
|
1 |
x2 |
|
|
|
д) ∫dx ∫ f (x, y)dy . |
|
|
|
|
−2 |
2−x |
|
|
|
57. Результат расстановки пределов интегрирования в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy , где область D ограничена линиями y = x2 , y = 2 − x и y = 0 ,
D
имеет вид:
1 |
2−x |
1 |
2−y |
|
а) ∫dx ∫ |
f (x, y)dy , |
б) ∫dx ∫ f (x, y)dy , |
||
0 |
x2 |
|
−1 |
y |
75
2 |
2−x |
2−y |
1 |
в) ∫dx ∫ f (x, y)dy , |
г) ∫ |
dy∫ f (x, y)dx , |
|
1 |
x2 |
y |
0 |
1 |
2−y |
|
|
д) ∫dy ∫ f (x, y)dx . |
|
|
0y
58.Результат расстановки пределов интегрирования в двойном интеграле
∫∫f (x, y)dxdy , где область D ограничена линиями y = x2 , y = x , имеет вид:
D
1 |
x2 |
1 |
x |
а) ∫dx ∫ f (x, y)dy , |
б) ∫dx ∫ f (x, y)dy , |
||
0 |
x |
0 |
x2 |
x |
1 |
y |
1 |
в) ∫dx∫ f (x, y)dy , |
г) ∫ dy∫ f (x, y)dx , |
||
x2 |
0 |
y |
0 |
1 |
y |
|
|
д) ∫dy ∫ f (x, y)dx . |
|
|
0y
59.Результат расстановки пределов интегрирования в двойном интеграле
∫∫ f (x, y)dxdy , где область D ограничена линиями y2 + x2 =1, |
y = 0 ( y ≥ 0 ), |
|||||
D |
|
|
|
|
|
|
имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
а) ∫1 |
1−y2 |
|
б) ∫1 dx ∫0 |
|
|
|
dx ∫ f (x, y)dy , |
|
f (x, y)dy , |
||||
−1 |
0 |
|
|
−1 1−x2 |
|
|
в) ∫1 |
dx 1∫−x |
2 |
|
1−y2 |
|
|
|
f (x, y)dy , |
г) ∫ dy∫1 |
f (x, y)dx , |
|||
−1 |
0 |
|
|
− 1−y2 |
0 |
|
|
1−y2 |
|
|
|
|
|
д) ∫0 dy ∫ f (x, y)dx . |
|
|
|
1− 1−y2
60.Результат расстановки пределов интегрирования в двойном интеграле
∫∫ f (x, y)dxdy , |
где область D ограничена линиями |
y = 6 − x , |
y = 2x и x = 0 , |
|
D |
|
|
|
|
имеет вид: |
|
|
|
|
а) ∫2 dx6∫−x |
f (x, y)dy , |
б) ∫3 dx6∫−x |
f (x, y)dy , |
|
0 |
2 x |
|
0 2 x |
|
76
6−x |
2 |
4 |
y 2 |
в) ∫ |
dx∫ f (x, y)dy , |
г) ∫dy ∫ f (x, y)dx , |
|
2 x |
0 |
0 |
0 |
6 |
6−y |
|
|
д) ∫dy ∫ f (x, y)dx . |
|
|
40
61.∫9 dx ∫x dy =…
0 |
0 |
|
|
а) 27, |
б) 15, |
в) 36, |
|
г) 18, |
д) 9. |
|
4ln y
62.∫dy ∫ exdx =…
20
а) 2, |
б) 4, |
|
в) 6, |
|
|
г) 12, |
д) 8. |
|
|
|
|
63. ∫2 dx∫3 dy ∫4 dz =… |
|
|
|
||
0 |
0 |
0 |
|
|
|
а) 24, |
б) 6, |
|
в) 12, |
||
г) 8, |
|
д) 0. |
|
|
|
64. ∫1 dx∫2 dy ∫3 (x + y + z)dz =… |
|
|
|
||
0 |
0 |
0 |
|
|
|
а) 2, |
б) 6, |
|
в) 9, |
|
|
г) 36, |
д) 18. |
|
|
||
2 |
x |
y |
|
|
|
65. ∫dx |
∫dy ∫xyzdz =… |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
а) 8 |
, |
б) 4 |
, |
в) 5 |
, |
5 |
|
3 |
|
3 |
|
г) 2, |
|
д) 3. |
|
|
|
5.4.Криволинейные интегралы
66.Формула Остроградского–Грина имеет вид…
|
∂Q |
|
∂P |
|
|
а) ∫∫ |
+ |
dxdy = ∫ Pdx −Qdy , |
|||
D |
∂x |
|
∂y |
|
L |
77
|
∂Q |
|
∂P |
|
|
б) ∫∫ |
− |
dxdy = ∫ Pdy +Qdx , |
|||
D |
∂x |
|
∂y |
|
L |
|
∂Q |
|
∂P |
|
|
в) ∫∫ |
− |
dxdy = ∫ Pdx +Qdy , |
|||
D |
∂y |
|
∂x |
|
L |
|
∂Q |
|
∂P |
|
|
г) ∫∫ |
− |
dxdy = ∫ Pdx +Qdy , |
|||
D |
∂x |
|
∂y |
|
L |
|
∂Q |
|
∂P |
|
|
д) ∫∫ |
− |
dxdy = ∫ Pdy −Qdx . |
|||
D |
∂x |
|
∂y |
|
L |
67. Площадь плоской фигуры вычисляется по формуле… |
|
|
|
|
|||||||
а) S = |
1 |
∫ xdy + ydx , |
б) S = ∫ xdy − ydx , |
||||||||
|
2 |
|
L |
|
L |
|
|
|
|
||
в) S = |
1 |
∫ xdy − ydx , |
г) S = 1 |
∫ xdx − ydy , |
|||||||
|
2 |
|
L |
|
2 |
|
L |
||||
д) S = |
1 |
∫ xdx + ydy . |
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
68. Статический момент относительно оси OX кривой L вычисляется по |
|||||||||||
формуле…, если плотность кривой равна ρ(x; y): |
|
|
|
|
|
||||||
а) Sx = ∫y ρ(x; y)dl , |
б) Sx = ∫x ρ(x; y)dl , |
||||||||||
|
|
L |
|
|
|
|
L |
|
ρ(x; y) |
|
|
в) Sx = ∫ |
|
|
y |
dl , |
г) Sx = ∫ |
|
|
dl , |
|||
|
|
ρ(x; y) |
|
|
|||||||
|
|
L |
|
|
|
L |
|
y |
|||
д) Sx = |
∫L |
|
|
x |
dl . |
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ(x; y) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
69. Статический момент относительно оси OY кривой L вычисляется по |
|||||||||||
формуле…, если плотность кривой равна ρ(x; y): |
|
|
|
|
|
||||||
а) Sy = ∫y ρ(x; y)dl , |
б) Sy = ∫x ρ(x; y)dl , |
||||||||||
|
|
L |
|
|
|
|
L |
|
ρ(x; y) |
|
|
в) Sy = ∫ |
|
|
y |
dl , |
г) Sy = ∫ |
|
dl , |
||||
|
|
ρ(x; y) |
|
||||||||
|
|
L |
|
|
|
L |
|
y |
|||
д) Sy = |
∫L |
|
|
x |
dl . |
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ(x; y) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
78
70. Момент инерции относительно оси OX |
кривой L |
вычисляется по |
||||||
формуле…, если плотность кривой равна ρ(x; y): |
|
|
|
|
|
|||
а) Ix = ∫y2 ρ(x; y)dl , |
б) Ix = ∫x2 ρ(x; y)dl , |
|||||||
|
L |
y2 |
|
L ρ(x; y) |
|
|||
в) Ix = ∫ |
|
dl , |
г) Ix = ∫ |
|
|
|
dl , |
|
ρ(x; y) |
|
y |
2 |
|||||
|
L |
|
L |
|
|
|
||
д) Ix = |
∫L |
x2 |
dl . |
|
|
|
|
|
ρ(x; y) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
71. Момент инерции относительно оси OY формуле…, если плотность кривой равна ρ(x; y):
а) Iy = ∫y2 ρ(x; y)dl ,
|
L |
|
|
|
в) Iy = |
∫L |
y2 |
dl , |
|
ρ(x; y) |
||||
|
|
|||
д) Iy = |
∫L |
x2 |
dl . |
|
ρ(x; y) |
||||
|
|
79
кривой L вычисляется по
б) Iy = ∫x2 ρ(x; y)dl ,
L |
ρ(x; y) |
|
|
г) Iy = ∫ |
|
|
dl , |
y |
2 |
||
L |
|
|
6.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
6.1.Дифференциальные уравнения первого порядка
1.Общее решение уравнения y′ = 2x имеет вид :
а) C |
2x |
, |
б) 2x ln 2 +C , |
в) |
2x |
+C , |
|
ln 2 |
ln 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|||
г) C2x ln 2, |
д) 2x +C . |
|
|
|
2. Общее решение уравнения y′= x +sin x имеет вид :
а) |
x2 |
+cos x +C , |
|
|
б) cos x − |
x2 |
+C , |
|
|
|||
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|||
в) x |
2 |
+cos x +C , |
|
|
г) |
−cos x +C , |
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
д) x2 −cos x +C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. Частное решение дифференциального уравнения |
(8 + x3 ) y′= x2 y при |
|||||||||||
y(0) =1 имеет вид : |
|
1 |
|
|
в) 1 3 |
|
|
|||||
а) 3 8 + x3 , |
б) |
8 + x3 , |
|
8 − x3 |
, |
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
г) |
1 |
|
8 − x3 , |
д) |
1 3 |
8 + x3 . |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4. Дифференциальное уравнение (6 + x4 ) y′= x3 y соответствует названию:
а) линейное, б) в полных дифференциалах, в) Бернулли, г) однородное,
д) с разделяющимися переменными.
5. Дифференциальное уравнение ( y3 + x3 ) y′ = x2 y соответствует назва-
нию:
а) линейное, б) в полных дифференциалах, в) Бернулли, г) однородное,
д) с разделяющимися переменными.
80