2. Дискретные линейные системы

2.1. Модель дискретной линейной системы

В § 1.1 мы эвристически описали различные алгорит­мы синтеза линейных цифровых систем. Настоящая гла­ва посвящена главным образом теории алгоритмов, осно­ванных на линейных разностных уравнениях, таких, как, например, (1.3) и (1.4). Эти уравнения, которые часто называют рекурсивными и авторегрессивными, служат отправной точкой для различных способов описания дис­кретных линейных систем, а именно с помощью частот­ной характеристики, блок-схем цифровых цепей, геомет­рической интерпретации в комплексной z-плоскости и с помощью операторного метода z-преобразования. По этим вопросам много материала можно найти о литера­туре к гл. 1. Кроме того, основополагающий материал читатель может найти в статьях Кайзера и Рэйдера и Голда. Цель настоящей главы состоит главным об­разом в том, чтобы ознакомить читателя с техническими приемами, необходимыми для понимания остальной ча­сти книги.

Теория линейной (аналоговой) цепи базируется на электрических свойствах индуктивностей, емкостей и сопротивлений, которые приводят через законы Кирхгофа к описанию цепей с помощью линейных дифференциаль­ных уравнений с постоянными коэффициентами. В отличие от этого, теория дискретных или цифровых линейных систем базируется на линейных разностных уравнениях с постоянными коэффициентами, которые могут быть ре­шены с помощью операций над числами на специализи­рованных или универсальных вычислительных машинах. При реализации алгоритма разностного уравнения существенным моментом, является то, что входной сигнал пред­ставляется в виде совокупности дискретных отсчетов по времени. В этой книге рассматриваются только равноотстоящие отсчеты. Случай неравноотстоящих отсчетов рассмотрен в литературе и выходит за рамки данной книги.

Для многих насущных задач может быть применена модель, показанная на рис. 2.1. В этих задачах сигналы, подвергаемые обработке, являются аналоговыми (например, выходные сигналы микрофона или сейсмографа), но сама обработка должна быть осуществлена в цифровом виде. Однако не все задачи относятся к этой категории; например, цифровой синтезатор речи не нуждается в аналоговом входном сигнале. На рисунке 2.1 для того, чтобы получить последовательность , аналоговый сигнал дискретизуется через временные интервалы T.

Последствия такого процесса дискретизации можно истолковать различными способами: почти во всей литературе, ссылки на которую приведены в гл.1, вскрывается их сущность, её условно можно назвать наложением от английских понятий folding или aliasing, встречающихся в литературе.

Рис. 2.1. Модель цифровой машины для обработки аналоговых сигналов

В терминах, относящихся к частотной области, это означает, что спектр аналогового сигнала повторяется периодически в виде верхнего и нижнего боковых спектров около частот и т.д. Если частота дискретизации взята ниже частоты Найквиста (т.е. если меньше удвоенной ширины полосы сигнала), то соседние спектры перекрываются, вызывая частотные искажения, которые делают невозможным восстановление аналогового сигнала с помощью линейной фильтрации.

Квантизатор на рис. 2.1 является обязательной частью любого современного цифрового процессора. Необходимо подчеркнуть, что эффекты квантования наблюдаются также и внутри цифровой машины, показанной на рисунке 2.1. Они встречаются, например, при записи постоянного коэффициента линейного разностного уравнения в виде числа в регистре конечной длинны. Такой эффект может считаться статическим в том случае, когда свойства разностного уравнения установлены раз и навсегда. Существуют также динамические эффекты, когда сигналы умножаются на коэффициенты или на другие сигналы и произведение округляется или ограничивается до заданной конечной длины регистра. В этой главе и гл. 3 мы сделаем важное предположение, что подобными ошибками можно пренебречь. В гл. 4 обстоятельно изучаются эти эффекты и показывается, как они влияют на синтез цифровых фильтров.

Если требуется получить выходной сигнал в непрерывной форме, как на рис. 2.1, то отсчеты выходного сигнала цифровой машины проходят через декодер или затягивающее устройство, которое создает непрерывный сигнал из последовательности импульсов. Вообще говоря, декодер – преобразователь цифра-аналог, после которого включен линейный аналоговый фильтр, устраняющий лишние частоты, появившиеся в процессе дискретизации. Так, например, если сек, декодер может быть низкочастотным фильтром с частотой среза 5 кГц. В самом простом случае таким фильтром является схема, запоминающая отсчетные значения в паузах между ними.

Исследование непрерывных линейных динамических систем в значительной степени облегчилось благодаря введению операционных методов преобразований Лапласа и Фурье, а также благодаря использованию теории цепей. Точно так же исследованию линейных дискретных систем помогает введение z-преобразования и использование теории цепей. Читателям, знакомым с непрерывными линейными системами, многие теоретические выкладки для дискретных линейных систем покажутся хорошо известными, да они и в самом деле должны казаться такими. Но необходимо помнить, что здесь мы имеем дело с дискретной или цифровой областью, для которой должны быть развиты новые подходы, и попытки распространить на эту область результаты, полученные для аналоговой области, могут привести к серьёзным ошибкам.